Cherche mathématicien...

[Ben314]

Une fois que tu as trouvé les deux valeurs t1 et t2 de t possible (vu que t doit vérifier une équation du second degré) alors en injectant a=tb dans a^2+b^2=1 ça te donne effectivement avec deux possibilités pour b, mais chacune d'elle ne donne qu'une et une seule possibilité pour a vu que tu doit avoir a=tb : de plus ces deux possibilités (opposées) pour b (donc aussi opposées pour a) définissent bien la même droite (même en fixant la convention a^2+b^2=1, il y a quand même deux équations pour paramétriser la même même droite vu que ax+by+c=0 équivaut à -ax-by-c=0 avec évidement (-a)^2+(-b)^2=1.

[fdesar]

Merci pour cette précision : j'avais effacé mon message car j'avais bien compris la chose qui m'a finalement parue évidente (tu utilises d'ailleurs cette méthode dans la résolution des tangentes commune en écrivant dans ta routine "Tangente_Commune(T1,T2)" :

Code: Tout sélectionner

...
      d=sqrt(s**2+1);
      a=s/d;
      b=1/d;
...


chose que j'ai fini par comprendre : ça rentre, mais c'est dur de reprendre tout ça à 60 ans)

En essayant de *vraiment* tout comprendre, je me heurte maintenant à un problème que j'ai du mal à appréhender concernant les tangentes communes à deux paraboles :

De temps en temps, lors de tests un peu poussés, il se passe un phénomène bizarre qui me fait
remettre en cause l'équation comme solution au système

En effet, je trouve des cas où qui permet donc de résoudre l'équation du 3e degré et celle ci retourne 3 racines, dont une des trois satisfait mais pas !

La seule particularité que je trouve à ces cas est que et qu'ils ne devraient a priori avoir que deux tangentes communes .

D'où peut donc venir ce "fantôme" ? Est-ce donc un cas particulier et si oui, comment devrais-je le traiter à ton avis ?

[fdesar]

PS : en pratique, cela ne me gène pas trop, cette fausse tangente étant assez facile à éliminer vu que la valeur calculée du est vraiment très peu plausible, mais j'aimerais bien comprendre où se situe le lièvre car j'aime bien que les choses soit "carrées" et je souhaiterais que mes routines soient si possible mathématiquement irréprochables...

Je peux te donner un exemple numérique concret :
p1=(-592.5499136, -246.8940237)
d1=(0.845705218653603, 0.533650337901197, 44.7761038110609)
chi1(0..4)=(-207.0717894, -525.0140259, 162.2956856, 0.8457052, 0.5336503)
p2=(-199.8830534, 315.9047131)
d2=(0.845705218653603, 0.533650337901197, 44.7761038110609)
chi2(0..4)=(-191.2004510, 160.4946055, 146.4243472, 0.8457052, 0.5336503)
l(0..3)=(8.4697451, -352.3994391, -588.2079721, -13.4224737)
Racine erronée : -0.631012232312846
qui me donne la droite : (-0.533650337901223, 0.845705218653586, 9.34241209732552.10^15)

Cette droite satisfait les équations en l et en chi1 () mais pas en chi2 qui me donne -316 et non 0.

[Ben314]

Là, c'est un problème lié au calcul numérique :
Une fois que tu as résolu l'équation du 3em degré qui donne les différentes valeurs possible pour puis calculé les couples auquel ça correspond (avec la convention ) pour trouver les valeurs de correspondante, tu as utilisé une des deux équations :

pour écrire (par exemple) que et là, sur le plan théorique, tu peut avoir un problème de division par 0 ce qui signifie en fait que la droite en question "n'existe pas" (*).
Sauf qu'au niveau calcul numérique (i.e. avec l'ordinateur), du fait de l'imprécision des calculs numérique, n'est pas exactement égal à zéro, mais uniquement très proche de zéro.
Donc l'ordi. ne repère pas qu'il y a un cas particulier et calcule une valeur de "aberrante" (forcément très très grande vu qu'il a divisé par un truc très proche de zéro). Après, avec cette erreur de calcul de l'ordi., c'est tout à fait normal qu'il trouve que la droite en question vérifie une des deux équation (en fait celle qui a été utilisée pour calculer le ), mais qu'il trouve que ça ne marche pas pour l'autre équation vu que cette autre équation conduit elle à où il y a sur le plan théorique de nouveau une division par 0, mais que vu que c'est des erreurs de calculs qui on conduit l'ordi. à faire comme si était non nul, ben ils serait plus qu’étonnant que les erreurs de calculs qui ont été faites sur le conduisent au même résultat (faux) pour et pour .

Sinon, la façon "classique" de remédier à ce type de problème en informatique lors de calcul numériques, c'est de remplacer tout les test d'égalité A=B (par exemple les test d'égalité avec A=0) par des test du style abs(A-B)<0.000001 ou un truc du même style.

(*) Je pourrait éventuellement regarder, graphiquement parlant, dans quel cas particulier on tombe sur . J'ai pas fait de calculs, mais je pense que c'est lorsque les directrices des deux paraboles sont parallèles (là dans ton exemple, c'est les deux mêmes directrices).

[fdesar]

C'est effectivement le cas et d'ailleurs, je le traite quasiment de cette façon : si j'élimine cette tangente, ce qui revient au même.

J'avais bien détecté qu'il s'agissait d'un problème de calcul de flottant car j'utilise une bibliothèque flottante qui me permet de choisir le nombre de chiffres significatifs et plus j'augmente la précision, plus le pseudo-gamma que j'obtiens est grand, ce qui confirme bien le diagnostic. Il s'agit bien des cas où les deux directrices sont // ou quasiment //, voire carrément confondues.

C'est donc bien un cas particulier où une des solutions trouvées n'en est pas une et doit donc être éliminée et je vais donc finalement juste tester si pour éliminer d'entrée cette fausse solution.

Je te remercie donc encore une fois car ça me confirme que l'algorithme implémenté est mathématiquement correct, que je ne passe pas à côté de quelque chose et que je peux donc "boucler" ma bibliothèque et essayer de cesser enfin d'y penser

[fdesar]

Sans surprise, le test fonctionne très bien.

Sinon, juste une question par pure curiosité : pourquoi a-t-on, mathématiquement, dans les cas où les directrices sont //, cette fausse solution qui émerge ?

[Ben314]

Il y a deux façon de "répondre" à la question :

1) Soit de façon "purement calculatoire" en disant que, pour résoudre ça :

On a pris une des deux équations pour écrire par exemple que puis on a substitué dans la deuxième pour obtenir le polynôme du troisième degré en et . On peut constater que quelque soit l'équation utilisée pour identifier , ça donne toujours le même polynôme du 3em degré, mais que pour que cette équation soit valable, il faut qu'il y ait au moins une des deux identification qui soit licite, c'est à dire que l'une au moins des deux quantités et soit non nulle (et si une et une seule des deux est nulle, il faut utiliser l'autre pour trouver la valeur de )

2) Soit en essayant de comprendre "à quoi correspond" cette "pseudo solution" qu'on trouve, c'est à dire trouver un contexte plus général dans lequel cette solution aurait "du sens". Et là, il s'avère que le "bon contexte", pour expliquer ce type de truc, c'est de ne pas travailler dans R^2 (=les point du plan), mais dans ce qu'on appelle le plan projectif qui est en fait l'ensemble des droites vectorielles de R^3.
Et dans ce contexte là, il y a une droite de plus, à savoir "la droite à l'infini" qui est en fait tangente à toutes les paraboles (*) et qui, comme les autres éventuelles tangentes, peut être "solution double" du problème (en fait lorsque les deux paraboles sont tangentes à la droite à l'infini au même points, c'est à dire lorsque leur directrices sont parallèles : dans ce cas, il n'y a au plus que deux "vraies" tangentes communes)

(*) Et c'est même une caractéristique des paraboles par rapports aux autres coniques et ça explique pourquoi des tangents communes à deux paraboles, il n'y en a au plus que 3 et pas 4 comme c'est en général le cas pour deux conique quelconque : la "4em tangente commune" qui manque, ben c'est justement cette droite à l'infini.

[fdesar]

Cette tangente subsidiaire a donc un sens dans mais n'est qu'un artefact dans et comme je travaille dans je dois donc simplement l'ignorer.

Très clair, merci.