Arithmétique : nombres premiers de la forme n^n + 1

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Zweig
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Arithmétique : nombres premiers de la forme n^n + 1

par Zweig » 28 Mai 2008, 13:32

Bonjour,

Déterminer tous les entiers naturels premiers de la forme qui sont inférieurs ou égaux à

PS : Mince, j'ai posté au mauvais endroit .... Si un modo voudrait bien le déplacer :marteau:



Clembou
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par Clembou » 28 Mai 2008, 14:57

Zweig a écrit:Bonjour,

Déterminer tous les entiers naturels premiers de la forme qui sont inférieurs ou égaux à

PS : Mince, j'ai posté au mauvais endroit .... Si un modo voudrait bien le déplacer :marteau:


Maple me donne :
[[0, 2], [1, 2], [2, 5], [4, 257]]
avec
[n,n^n+1]

Zweig
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par Zweig » 28 Mai 2008, 15:25

Oui, avec Maple c'est trivial ... L'intêret c'est de le faire sans ...

Clembou
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par Clembou » 28 Mai 2008, 15:34

Zweig a écrit:Oui, avec Maple c'est trivial ... L'intêret c'est de le faire sans ...


Un petit bout de raissonnement pour les nombres impaires :

Si n est impair différent de 1, alors

(car un nombre impair multiplié par un nombre impair donne un nombre impair...) n'est pas un nombre premier...

lapras
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par lapras » 28 Mai 2008, 16:07

Salut
Evidemment le cas n impair est trivial, mais le cas n pair est plus difficile.
Pour tout n pair, avec m impair et l>=1
alors
peut être factorisé (voir la factorisation de a^n + b^n quand n impair) donc n est une puissance de deux.
Supposons que avec m impair
alors donc donc n^n + 1 est divible par ce qui est impossible
donc m = 1
donc
Maintenant on peut avoir l'=0, 1 ou 2 sinon on dépasse 10^19
donc les solutions pour n pair sont n=2 ce qui fournit n^n + 1 = 5
et pour n impaire ou a n = 1 qui founit n^n + 1 = 2

 

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