Variables aléatoires et indépendance

[Lili720]

Bonjour, je n'arrive pas a résoudre l'exercice ci-dessous:
Soit X une variable aléatoire de la loi géométrique sur N de paramètres a appartenant à]0,1[ (autrement dit : P(X=k)= a(1-a)^k, avec k entier naturel). On désigne par Q et R le quotient et le reste de la division de X par un entier p>=2 . Montrer que les variables aléatoires Q et R sont indépendantes et déterminer leurs lois.

Selon moi, Q est un entier naturel et 0=<R<p.
De plus, X=pQ+R et donc
P(Q=q, R=r)=P(X=pq+r)=a(1-a)^k
Mais je n'arrive pas à prouver l'indépendance...
Quelqu'un aurait une idée ?

[Rdvn]

Bonsoir

Je note b = 1-a pour simplifier les expressions, autres notations inchangées.

D'accord avec votre début : P(Q=q, R=r) = P(X=pq+r) = ab^(pq+r)

Il me parait plus simple de calculer d'abord P(Q=q) et P(R=r) pour montrer
P(Q=q, R=r) =P(Q=q).P(R=r) d'où indépendance de Q et R.

P(Q=q) = P(X=pq)+P(X=pq+1)+...+P(X=pq+p-1)
après une mise en facteur on reconnaît une somme de termes d'une suite géométrique.

P(R=r) = P(X=r)+ P(X=p+r)+...+ P(X=np+r)+...
après une mise en facteur on reconnaît une série convergente (sachant 0<b^p<1)

A vous, proposez vos essais

[Lili720]

J'ai compris mes erreurs et j'ai réussi
Merci beaucoup !!

[Rdvn]

OK
Vous n'aviez pas vraiment d'erreur mais l'énoncé était trompeur :
il semblait indiquer de prouver l'indépendance d'abord ... fausse piste !
N'hésitez pas à poser vos questions si il en reste
Boncourage