Valeurs approchées

[Léa314159]

Bonjour à tous!
J'ai un devoir de maths dans lequel on me demande de trouver la valeur approchée de e (la constante de Napier), avec une précision qui n'est pas une puissance de 10.
Je dispose d'un encadrement :

(1+1/n)^n<= e <= (1+1/n)^(n+1)

Et la question est :
"Comment peut-on obtenir une valeur approchée à 10^(-3)/3 ?" Il n'est pas précisé que l'encadrement est à utiliser, mais je pense que si.

Voilà, je peux vous assurer que je cherche depuis plusieurs jours, et j'ai écumé tous les sites internet traitant des valeurs approchées! Malheureusement, mes recherches sont restées infructueuses... Je ne comprends pas comment avoir la précision demandée...
Merci d'avance!!

[Ben314]

Salut,
Lorsque tu sait par exemple qu'un certain réel x est compris entre 3.1 et 3.18, une façon à peine différente de dire exactement la même chose, c'est de dire que x a pour valeur approchée 3.14 à 0.04 prés.

Donc là, ton inégalité, elle te dit qu'une valeur approchée de e c'est .... à .... prés (qui dépendent de n) et tu as juste à chercher pour quel n on a une précision inférieure ou égale à celle qui est demandée.

[Léa314159]

Ok d'accord merci beaucoup, donc je pose mon équation
((1+1/n)^(n+1)-(1+1/n)^n ) / 2= 1/3000
(1+1/n)^n x 1/n = 1/1500, c'est bien ça?

[Ben314]

. . . et tu as juste à chercher pour quel n on a une précision inférieure ou égale à celle qui est demandée.

[Léa314159]

Ok, merci

[Black Jack]

Bonjour,

Méthode straightforward ...

On trace à la calculette graphique le graphe de f(x) = (1+1/x)^x - e + 10^-3/3
et on regarde sur le graphe la valeur de x pour avoir f(x) = 0

... on lit : x = 4076,5...

Il faut donc n = 4077

Cela ne sera peut-être pas apprécié par les matheux ... mais c'est terriblement rapide et efficace.

[Léa314159]

Merci beaucoup Black Jack!!

[Ben314]

Cela ne sera peut-être pas apprécié par les matheux ... mais c'est terriblement rapide et efficace.

A mon sens, c'est surtout terriblement couillon : si tu as une calculette qui connait e (ce qui est nécessaire vu que la fonction que tu trace contient cette constante), ben tu as qu'à lui demander d'afficher la valeur de e pour avoir e avec bien plus que la précision demandée par l'exo.
Bref, ce type d'exo n'a de sens que si on fait les calculs à la main ou, à la rigueur, comme si on avait à sa disposition uniquement une calculatrice "4 opérations".

[Black Jack]

Si on supprimait les exercices couillons dans ce qui est proposé dans l'enseignement secondaire ... il n'en resterait pas beaucoup.

[Black Jack]

Rebonjour,

Si on ne veut pas utiliser "e" pour calculer n, on peut mettre le graphe de f(x) = (1+1/x)^x - (1+1/x)^(x+1) + 2*10^-3/3 sur la calculette graphique ... et y lire la valeur de x pour laquelle f(x) = 0

On lit : x = 4076,9...

et on a donc n = 4077

[lyceen95]

Citation : donc je pose mon équation ((1+1/n)^(n+1)-(1+1/n)^n ) / 2= 1/3000
Oui et non.
Ce qu'on cherche, ce n'est pas , c'est . n'est qu'une étape pour trouver
Même pas. Je corrige : n'est qu'une étape pour trouver un encadrement de , avec une certaine précision.
On cherche en fait , tel que : ((1+1/n)^(n+1)-(1+1/n)^n ) / 2 <= 1/3000
Du coup, tu peux tâtonner.
Si on choisit n=1000, on trouve un encadrement, mais la largeur de l'intervalle est trop grande.
Si on choisit n=5000 , ou n=10000, bingo... l'intervalle obtenu a une largeur qui correspond aux contraintes.

[Black Jack]

Bof

En utilisant la manière que j'ai préconisée, on trouve en quelques secondes que n = 4077 est la plus petite valeur de n telle que (1 + 1/n)^n est égal à e à moins de 1/3000 près.
... et bien entendu tout n >= 4077 aussi.

Connaître le but de la question posée serait bien.

Si c'est trouver la valeur de n minimale telle que (1 + 1/n)^n donne une valeur de e à moins de 1/3000 près, on peut faire comme je l'ai préconisé ... ou perdre du temps en tâtonnant en calculant avec des n différents jusqu'à ce que l'encadrement soit respecté juste en dessous de 1/3000.

Si c'est trouver une valeur de n quelconque qui donne une valeur de e à moins de 1/3000 près...
alors, on calcule l'encadrement avec un n et (n+1) très grand et c'est fini... mais je suis très sceptique que le but ait été celui-là.

[Ben314]

A mon avis (donc ça vaut ce que ça vaut...), ce qui est attendu, c'est un truc de ce style :
En prenant comme approximation de le milieu de l'intervalle où on sait qu'il est situé on a une précision au moins égale à la moitié de la largeur de l'intervalle donc on veut que :

Or on sait que, pour tout , on a donc, pour que (*) soit vérifiée, il suffit de prendre en prenant pour un entier quelconque, (par exemple )

[Léa314159]

Bonsoir à tous,
En tout cas, je vous remercie beaucoup pour vos conseils qui me sont très précieux. Je pense que je vais opter pour une approche du style :
- trouver n pour avoir la précision demandée
- supposer que e est situé au milieu de l'encadrement et donc faire la moyenne
- arrondir le résultat à la précision exigée.

Surtout qu'après j'ai un algorithme à rédiger pour généraliser tout ça. Je me demande aussi si je ne reprendrai pas la méthode graphique qui a été proposée, pour avoir une autre approche.
Bref, un grand merci!!
Bonne soirée à tous

[Léa314159]

En revanche, je ne parviens pas à voir comment tu as pu obtenir une telle précision avec la lecture graphique, Black Jack... Ce n'est pas évident à lire.

[Black Jack]

En revanche, je ne parviens pas à voir comment tu as pu obtenir une telle précision avec la lecture graphique, Black Jack... Ce n'est pas évident à lire.

Sur la plupart (toutes probablement) des calculettes graphiques, on peut définir la plage des abscisses visualisées.

On peut donc resserrer cette plage en 2 ou 3 fois vers l'endroit où on voit f(x) = 0 et ainsi affiner la lecture jusqu'à une précision suffisante.