Trouver le reste d'une division à grand nombre

[Mireille23200]

Bonjour,

Dans un exercice trouvé sur le net, pour trouver le reste de 555 555 555 555 555 555 555 / 11 , il est posé :
505 050 505 050 505 050 500
+ 50 505 050 505 050 505 050
= 555 555 555 555 555 555 550
555 555 555 555 555 555 550 est donc un multiple de 11
Le reste dans la division de 555 555 555 555 555 555 555 par 11 est donc 5

Quelqu'un peut-il m'expliquer la démarche utilisée pour obtenir ce résultat ?
Merci.

[fatal_error]

slt,

si tu poses a=50 505 050 505 050 505 050
tu as 11a = 555 555 555 555 555 555 550
et donc tu cherches le reste de (11a+5) mod 11
tu déduis que 11a mod 11 donne 0 et le reste est celui de 5modulo 11 qui est 5

[GaBuZoMeu]

Autre façon de voir : quand tu as deux chiffres égaux en tête de l'écriture de ton nombre en base 10, tu peux les supprimer dans ta recherche du reste dans la division par 11. Par exemple
55abcdefg = 55 x 10^7 + abcdefg = 5 x 11 x 10^7 + abcdefg
et tu peux ne garder que abcdefg puisque 5 x 11 x 10^7 est divisible par 11, donc il compte pour du beurre dans le calcul du reste.

Exemple : quel est le reste de

7799663355222200114488992280

dans la division par 11 ?

Après, il y a une technique plus sophistiquée qui s'applique à un nombre quelconque, mais ça sera pour plus tard ....

[Mireille23200]

Merci pour vos réponses. Je pense que je suis bon pour reprendre les maths plus en amont.
Fatal, le fait de trouver a comme multiple de 11 proche de 555 555 555 555 555 555 555 me semble déjà obscure.
Gabu, si je suis bien, le reste dans ton exemple est 7 (7x11x10^26+abcd....) mais ça ne marche que pour la division par 11 lorsque les 2 premiers chiffres du nombre sont identiques ?

[GaBuZoMeu]

Gabu, si je suis bien, le reste dans ton exemple est 7 (7x11x10^26+abcd....) mais ça ne marche que pour la division par 11 lorsque les 2 premiers chiffres du nombre sont identiques ?

Oui, bien sûr. Tu vois bien dans cet exemple que l'on a le chiffre qui figure deux fois de suite fois 11 fois la puissance de 10 qui convient. Ça ne marche que pour la division par 11.

[lyceen95]

Ca marche aussi avec à peu près n'importe quel nombre :
Quel est le reste de la division de 1236124812247 par 12 ?
123600124812247, c'est 12 * 10000000000000 + 36*100000000000 + 12*10000000 + 48*100000 + 12*1000 + 24*10 +7
Et de façon évidente, les premiers termes sont divisibles par 12. Et donc le reste de la division demandée est 7.

Quel est le reste de la division de 9879876 par 987 ? Pas besoin de calculatrice, c'est 6.
Quel est le reste de la division de 9879876987 par 987 ? Pas besoin de calculatrice non plus, c'est 78, mais c'est un peu plus subtil.

La technique marche avec n'importe quel nombre, si le prof a été sympa, et qu'il a choisi une division qui se simplifie bien.

[GaBuZoMeu]

La question était

ça ne marche que pour la division par 11 lorsque les 2 premiers chiffres du nombre sont identiques

et la réponse est bien que lorsque les deux premiers chiffres sont identiques, ça ne marche que pour la division par 11.
Bien sûr que lorsque les deux premiers chiffres forment un nombre divisible par 23 et qu'on cherche le reste dans la division par 23, on peut effacer ces deux premiers chiffres ; mais alors ces deux premiers chiffres ne sont pas identiques.