Triplets pythagoriciens

[diuk]

Bonjour j'ai un exo à résoudre, pourriez-vous m'aider ?

Trouver un triangle rectangle dont les longueurs des trois cotés sont des entiers est un très vieux problème mathématiques. Il s'agit de trouver des triplets (a,b,c)d'entiers strictement positifs vérifiant : a² = b² + c²

En Mésopotamie il y'a plus de 4000ans, les habitants écrivaient sur des tablettes d'argile qu'ils laissaient sécher au soleil. Sur l'une d'entre elles dite plimpton 322 (du nom du collectionneur américain qui l'a recueillie), sont écrits 15 triplets pythagoriciens : ils sont tous de la forme :

(n²+m², 2nm, n²-m²) , n et m étant des entiers strictement positifs tels que n > m

Les grecs, eux, découvrirent les triplets (2n²+2n+1, 2n²+2n, 2n+1), n étant un entier supérieur ou égal à 1.

2Cest Euclide qui le premier donna la forme générale de tous les triplets pythagoricien ; ce sont exactement les triplets : (k(n²+m²), 2knm, k (n²-m²) k étant un entier supérieur ou égale à 1 et n et m etant deux entiers strictement positifs tels que n > m

1) Vérifier que les babyloniens et les Grecs avaient trouvé des triplets pythagoricien (indications : pour calculer un nombre de la forme (i+j+k)², on pourra commencer par développer (i+(j+k))²).


2) Vérifier que les triplets d'Euclide sont pythagoriciens

3) Comment sont obtenus les triplets babyloniens à partir d'un triplet donné par Euclide ?

4) En prenant n = m +1, retrouver les triplets grecs , exprimés en fonction de m , à partir d'un triplet donné par Euclide



Voilà je m'excuse d'éventuelle faute..


J'ai déjà trouvé ça pour la question 1 :


j'ai vérifier que les triplets Babyloniens sont bien corrects : j'ai verifier que :

(n²+m²)²=(2mn)²+(n²-m²)²


(n²+m²)²=(n²)²+2n²m²+(m²)²=n^4+2n²m²+m^4

j'ai démonté que :

(n²+m²)²=(2nm)²+(n²-m²)² en faisant :


(2mn)²+(n²-m²)²=4m²n²+n^4-2m²n²+n^4=n^4+2m²n²+n^4=(m²+n²)²

ensuite pour les grecs :


(j+k)² = j²+2jk+k²
(i+(j+k))² = i² +2i(j+k)+(j+k)² = i²+2ij+2ik+j²+2jk+k²

c'est la formule que j'ai trouvé et maintenant je dois calcules d'un côté (2n²+2n+1)² avec la formule, puis (2n²+2n)²+(2n+1)² et trouver la même chose... mais je n'y arrive pas j'ai fait ça mais ça a pas l'aire juste :

(2n²+2n+1) = (i+j+k)² = i² +2i(j+k)+(j+k)² = i²+2ij+2ik+j²+2jk+k²

(2n²+2n)² + (2n +1) = (i²+j²)² + (j²+k²)² = i²+2ij+2ik+j²+2jk+k² ?


votre aide me serait très utile^^


PS : les ^2 sont aussi des carré, ma touche ² marche une fois sur deux s'chiant..

Il faudrait que j'ai finit avant 20heure :(

[diuk]

?^^quelqu'un

[diuk]

Quelqu'un est disponible ?

[Sve@r]

PS : les ^2 sont aussi des carré, ma touche ² marche une fois sur deux s'chiant..

Oui. Et le copier/coller tu sais pas faire? Ben tu vois, ce sont des détails comme ça qui laissent penser que tu n'as aucun esprit d'initiative ou de recherche et qui laissent présumer que toute aide ne sera que du temps perdu pour son posteur...

Il faudrait que j'ai finit avant 20heure

Parce qu'après tu dois sortir avec tes potes ?

ensuite pour les grecs :


(j+k)² = j²+2jk+k²
(i+(j+k))² = i² +2i(j+k)+(j+k)² = i²+2ij+2ik+j²+2jk+k²

c'est la formule que j'ai trouvé et maintenant je dois calcules d'un côté (2n²+2n+1)² avec la formule, puis (2n²+2n)²+(2n+1)² et trouver la même chose... mais je n'y arrive pas j'ai fait ça mais ça a pas l'aire juste :

(2n²+2n+1) = (i+j+k)² = i² +2i(j+k)+(j+k)² = i²+2ij+2ik+j²+2jk+k²

Non. (2n²+2n+1)² n'est pas égal à (i+j+k)². On te donne un exemple de développement de (i+j+k)² car ce développement peut s'appliquer à (2n²+2n+1)² (tu arrives à repérer où est i, où est j et où est k j'espère)...

(2n²+2n)² + ...= (i²+j²)² + ...

Si je comprends bien, 2n=j² ???

[diuk]

Oui. Et le copier/coller tu sais pas faire? Ben tu vois, ce sont des détails comme ça qui laissent penser que tu n'as aucun esprit d'initiative ou de recherche et qui laissent présumer que toute aide ne sera que du temps perdu pour son posteur...


Parce qu'après tu dois sortir avec tes potes ?

Si je comprends bien, 2n=j²

1) ça arrive de ne pas y penser.... surtout après une journée assez longue et embêtante ...



2) Parce que j'ai un repas familiale assez unique peut être. Mais le principale c'est que j'ai pu revenir pour continuer cet exercice

3) Petite etourderie désolé...



i=2n², j=2n, k=1


PS : merci d'avoir remplacé les ^2 par des ²

[diuk]

(2n²+2n+1)² = (2n)² +(2n+1)² = 4n² + 2n² + 2*2n²*1² + 1²

[Sve@r]

(2n²+2n+1)² = (2n)² +(2n+1)² = 4n² + 2n² + 2*2n²*1² + 1²

Attention au signe "=" car il signifie "égal". Peut-être que ta journée embêtante ne t'empêchera pas de réfléchir sur la signification de ce mot (un peu comme les mathématiciens de l'antiquité qui étaient souvent aussi philosophes c.a.d. qui prenaient le temps de réfléchir sur la signification des choses)...

En tout cas, (2n²+2n+1)² n'est pas égal à (2n)² + (2n+1)² et (2n+1)² n'est pas égal à 2n² + 2*2n²*1² + 1²...