Triangles et cercle (3ème)

[leeloo08]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire et je ne sais pas quels théorèmes ou autres astuces utiliser...

Voici l'énoncé :

ABC est un triangle équilatéral de côté 8 cm. Soit le cercle C de diamètre AB et de centre O, il coupe BC en I.
K est le symétrique de O par rapport à B.

1) Faire la figure (pas de problème). Montrer que I est milieu de BC.
2) Montrer que le triangle OIK est rectangle.
3) Montrer que (IK) perpendiculaire à (AC).
4) Nature du triangle AIK ? Calculer son aire en cm2.

1) Je n'ai aucune idée pour montrer cela.
2) On voit qu'il est rectangle en I mais comment le démontrer ? Je ne peux pas utiliser pythagore puisque je ne connais pas la longueur IK.
3) Comme OIK est rectangle en I, on peut dire que (IK) perpendiculaire à (OI) auquel cas il ne reste plus qu'à montrer que (OI) parallèle à (AC). Je voudrais utiliser Thalès mais on ne connait pas assez de longueurs !
4) On voit qu'il est isocèle. Faut-il le démontrer ? J'ai réussi à calculer son aire en calculant la longueur IK grâce à Pythagore (j'ai trouvé IK = 6,9 cm) puis en utilisant aire = base X hauteur /2 et j'ai trouvé 13,9 cm2.

Si vous avez une idée à me suggérer s'il vous plait...
Merci d'avance pour votre aide !

[rene38]

Bonjour

1) Un cercle, un diamètre ... Quelle est la nature du triangle ABI ?
Quel(s) rôle(s) joue [AI] dans le triangle ABC ?

2) Position de B sur [OK] ; longueur IB par rapport à la longueur OK ;
rôle de [IB] dans le triangle OIK.

3) "il ne reste plus qu'à montrer que (OI) parallèle à (AC)."
Dans le triangle ABC, les extrémités de[OI] sont ...

4) "On voit qu'il est isocèle. Faut-il le démontrer ?" OUI
"J'ai réussi à calculer son aire en calculant la longueur IK grâce à Pythagore"
Alors tu peux aussi calculer AI.

"(j'ai trouvé IK = 6,9 cm)" : NON, c'est une valeur approchée. Garde la valeur exacte ; même remarque pour l'aire.

[leeloo08]

Bonjour René 38,

2) Position de B sur [OK] ; longueur IB par rapport à la longueur OK ;
rôle de [IB] dans le triangle OIK.

B est milieu de [OK] donc [OB]=[BK]=[OI]=[IB]. Peut-on alors dire que si l'on traçait le cercle de centre B et rayon [BO] il passerait par I et donc le triangle OIK est rectangle en I car [OK] est le diamètre du cercle circonscrit ???

4) "(j'ai trouvé IK = 6,9 cm)" : NON, c'est une valeur approchée. Garde la valeur exacte ; même remarque pour l'aire.

En valeur exacte j'ai trouvé IK = 4x Racine de 3. Et pour l'aire j'ai trouvé 8x racine de 3.

En tout cas merci beaucoup une fois de plus, rené 38, car tes pistes m'ont bien éclairé et permis de trouver toutes les solutions !

[rene38]

Tout bon !