Tirages successifs avec remise

[Stubbs]

Bonjour à toutes et à tous,

Dans le cadre d'un projet perso, je suis actuellement confronté au problème suivant que l'on pourrait énoncer ainsi :

J'ai une urne contenant X billes et je dois y effectuer Y tirages successifs avec remise. Existe-t-il une formule qui me permettrait de connaitre l'espérance mathématique du nombre de billes tirées 1 fois, 2 fois, 3 fois, etc ?

Je suis tombé sur celle-ci, mais je ne sais pas ce qu'elle vaut, X étant le nombre de billes et Y le nombre de tirages :

f(x, y) = x * (1 - ((x-1)/x)^y)

[pascal16]

cf loi binomiale (niveau fin première).

[Ben314]

Salut,
Si j'ai bien compris ton laïus, tu voudrait connaitre l'espérance de la variable aléatoire correspondant aux nombre de billes qui ont été tirées exactement Z fois lors de Y tirages successifs (avec remise) dans un ensemble de X éléments (avec X,Y,Z fixés connus).
Cette espérance dépend clairement de Z (par exemple, si Z>X ou Z>Y, c'est évidement 0) donc je comprend pas ce que peut bien être ta formule en f(x,y) qui ne dépend que de deux variable...

P.S. Et si effectivement, la v.a.r. qu'on étudie, c'est le nombre de billes tirées Z fois, ben la répartition, je pense pas que ça ait grand chose à voir avec une binomiale...

[Ben314]

Pour voir si j'ai bien compris le problème, si on part avec un sac contenant 4 billes et qu'on note par exemple p(3,2,2,0) la proba qu'une des billes ait été tirée 3 fois, que deux des billes aient étés tirées 2 fois et que la dernière n'ai jamais été tirée (donc on en est au 3+2+2=7em tirage) alors
tirage 0 : p(0,0,0,0)=1
tirage 1 : p(1,0,0,0)=1
tirage 2 : p(2,0,0,0)=1/4 ; p(1,1,0,0)=3/4
tirage 3 : p(3,0,0,0)=1/16 ; p(2,1,0,0)=9/16 ; p(1,1,1,0)=3/8
tirage 4 : p(4,0,0,0)=1/64 ; p(3,1,0,0)=3/16 ; p(2,2,0,0)=9/64 ; p(2,1,1,0)=9/16 ; p(1,1,1,1)=3/32
tirage 5 : p(5,0,0,0)=1/256 ; p(4,1,0,0)=15/256 ; p(3,2,0,0)=15/128 ; p(3,1,1,0)=15/64 ; p(2,2,1,0)=45/128 ; p(2,1,1,1)=15/64
Donc si N désigne la v.a.r. donnant le nombre de boules qui ont été tirées exactement 2 fois (i.e. X=4 ; Y=5 ; Z=2) alors
p(N=0) = 1/256+15/256+15/64 = 19/64
p(N=1) = 15/128+15/64 = 45/128
p(N=2) = 45/128
p(N>2) = 0

[Stubbs]

Merci pour tes réponses Ben314,

Pour la formule, je l'ai trouvée sur topic d'un autre forum traitant d'un algo censé résoudre un problème similaire. La formule de base est, pour une urne contenant 100 billes avec n tirages successifs :
f(n) = f(n-1) + (100 - f(n))/100, f(0) = 0

Le gars utilisait wolfram pour en arriver à
f(n) = 100 * (1 - ((100-1)/100)^n)

Du coup, si on généralise avec x le nombre de billes et y le nombre de tirages :
f(x, y) = x * (1 - ((x-1)/x)^y)

Une première itération donne le nombre de billes touchées une fois. Un deuxième, avec comme données le nombre de tirages restant et le nombre de billes restantes, donne le nombre de billes tirées deux fois, etc

[Ben314]

Bon, ben je comprend pas bien grand chose à ta prose... (en particulier, je vois vraiment pas ce que peut signifier le mot "itérer" quand on est en présence d'une fonction dont l'ensemble d'arrivé n'est pas le même que l'ensemble de départ : ta fonction va de N² dans R....)

Disons qu'on a une urne contenant billes, qu'on fait tirage (avec remise) dedans et qu'on s'intéresse à la variable aléatoire correspondant aux nombres de billes qui ont été tirées exactement fois (donc est compris entre et )
La loi de est assez "bizarre" (je sais pas si elle a un nom), mais par contre l'espérance de est facile à calculer car où selon que la -ème bille a été tirée exactement fois ou pas.
Les variables aléatoires ne sont pas indépendantes (*), mais on a quand même la relation vu qu'il est clair que toute les suivent la même loi.
Ensuite , c'est la proba que la bille 1 ait été tirée exactement fois et ça se calcule par du bête dénombrement "Nb_cas_favorable / Nb_cas_total" : Nb_cas_total et Nb_cas_favorable (choix des tirages où la bille 1 a été tirée et choix des billes autres que la 1 tirées lors des autres tirages).
Bilan :
(tu vérifiera que ça colle avec le cas b=4 ; n=5 ; k=2 développé dans mon précédent post)

(*) Donc par exemple, c'est un peu plus compliqué (mais faisable) de calculer la variance de vu qu'il faut tenir compte de la covariance des couples qui est non nulle.