Résoudre une équation au 3eme degré

[chaa13]

Bonjour ,
je cherche a résoudre une équation au 3eme degré du style :
x;) + x² -18 = 0
Pouvez-vous me donner la technique si possible sans calculette .
Merci d'avance !
Charles

[ewok31]

C'est pas du niveau collège d'après mon prof de maths :mur: , alors juste par curiosité j'aimerais bien savoir comment on fait moi aussi :zen:

[chaa13]

Oui ,parce que la technique du deuxième degré ne marche pas sur l'équation que j'ai mis plus haut n'est ce pas ?

[Dlzlogic]

Oui ,parce que la technique du deuxième degré ne marche pas sur l'équation que j'ai mis plus haut n'est ce pas ?

Voila la méthode
soit l'équation x^3 + ax² + bx + c + 0
En posant x = y-a/3 on est ramené à y^3 + py + q =0.
Les 3 racines de cette équations sont réelles si (q/2)² + (p/3)^3 0 il n'y a qu'une racine dont je ne vous donnerai la formule que si vous insistez.

Mais dans le cas présent, et surtout si c'est un exercice, le tracerais la courbe représentative pour avoir une vague idée de la solution ou des solutions, et j'en aurai déjà une valeur approchée, ce qui me permettrait d'affiner le résultat.

[ewok31]

alors c'est un epu le même système que pour les équations au second degrès?

[chaa13]

Merci de la réponse ,mais pouvez-vous l'expliquer ? pourriez-vous le faire avec mon calcul pour que je comprenne mieux car la c'est un peut confus :
q² + q³ = 18
Merci d'avance
Charles

[Dlzlogic]

alors c'est un epu le même système que pour les équations au second degrès?

Oui, si on veut, sauf que personne ne connait la formule par coeur (sauf Beagle) et que probablement personne n'utilise cette méthode - je parle naturellement de la méthode numérique.

[ev85]

Bonjour ,
je cherche a résoudre une équation au 3eme degré du style :
x;) + x² -18 = 0
Pouvez-vous me donner la technique si possible sans calculette .
Merci d'avance !
Charles

Avant de mettre en route la technique décrite plus haut, on cherche les solutions rationnelles. Elles sont entières puisque le coefficient dominant est 1. Ce sont donc des diviseurs de 18.

On trouve ainsi rapidement -3 comme racine. Ensuite on factorise par (x+3):
qui n'admet donc que -3 comme racine réelle.

[Dlzlogic]

Sauf le signe devant 18 ...
C'est à ce genre de chose que servent les nombreux exercices de factorisation.

[ewok31]

Sauf le signe devant 18 ...
C'est à ce genre de chose que servent les nombreux exercices de factorisation.

sauf le signe? C'est à dire?

[Dlzlogic]

sauf le signe? C'est à dire?

L'énoncé indique un signe '-', la solution est donnée avec un signe '+'.

[ewok31]

ha d'accord :we:

[ev85]

Sauf le signe devant 18 ...
C'est à ce genre de chose que servent les nombreux exercices de factorisation.

Ah oui, je n'ai pas le bon énoncé. Effectivement, il n'y a pas de racine rationnelle.

Bon on fait donc le changement d'inconnue pour faire disparaître le terme de degré 2, ce qui donne et on pose . en développant, on trouve et on choisit u et v pour que ce qui donne et . On résout cette équation du second degré en et et on essaie de ne pas trouver neuf solutions à cette équation...

Je laisse plus courageux que moi terminer les calculs.

[chaa13]

OK ev85 -3 était la réponse .Mais comment a tu a fais car 18 est un multiple de 2 et de 3 pourquoi tu a choisi le multiple de 3 ?
J'ai fait le développement de t'a factorisation et ça me donne bien x;) + x² +18
par contre je n'est pas bien compris t'a méthode de factorisation ?
Quel est la factorisation a faire pour x;) + x² -18 ? (je remplace le plus par le moins)
Merci d'avance

[ev85]

Mais comment a tu a fais car 18 est un multiple de 2 et de 3 pourquoi tu a choisi le multiple de 3 ?

Il n'y a plus qu'un nombre fini d'essais à faire. Par ailleurs il y a des trucs qui permettent d'éliminer des cas : par exemple la racine n doit vérifier n-1 divise P(1) = 1 + 1 + 18 = 20 et n+1 divise P(-1) = -1 + 1 + 18 = 18.

J'ai fait le développement de t'a factorisation et ça me donne bien x;) + x² +18
par contre je n'est pas bien compris t'a méthode de factorisation ?

Tous les coups sont permis. Du schéma de Hörner à la division des polynômes en passant par la méthode des coefficients indéterminés. Je ne donne pas tous les calculs non plus.

Quel est la factorisation a faire pour x;) + x² -18 ? (je remplace le plus par le moins)
Merci d'avance

Voir mon message plus haut.

[Dlzlogic]

Je fais faire une autre approche de cet exercice.
Les facteurs des inconnues et le termes constant sont tous des nombres entiers. On peut donc en déduire intellectuellement que cette équation est posée dans l'ensemble des nombres entiers. Donc 2 ou trois essais devraient conduire à la (ou les) solution(s).
Par contre, si on sait qu'on cherche à la résoudre dans l'ensemble des réels, les paramètres (1.00 ; 1.00 ; -18.00) sont des valeurs approchées d'un nombre réel. En ce cas, sauf solution évidente, la recherche de factorisation me parait illusoire.
Mais étant donné qu'il s'agit d'un exercice, si on ne sait pas dans quel contexte il est posé, il me parait difficile d'y apporter, avec certitude, la solution.

En tout cas, voici ma proposition de méthode.
Un tracé rapide montre qu'il n'y a qu'une solution et qu'elle se situe entre 3 et 4 (sauf erreur) sur un graphique à une échelle bien choisie, on trace les points de la fonction y=x^3 + x² -18 pour x = 3 et x=4.
On apprécie facilement la valeur de x qui correspond à y =0. On peut recommencer cette opération pour cette nouvelle valeur de x.

[Lostounet]

Bonjour,

N'oublions pas que Chaa13 est au collège (je crois), et même au niveau lycée on ne sait pas encore résoudre de telles équations par ces méthodes.

Chaa13, je te conseille de taper "méthode de Cardan" sur Google. Faut bien s'accrocher pour les calculs...

[chaa13]

OK je vais chercher la méthode de Cardan parce-que les méthode la sont asser compliqué. Je le lis et je vous tien au courant des éventuels problème !
Merci !

[Lostounet]

En fait, si tu veux on peut bosser sur des équations de degré 3 un peu plus simples que celle que tu as proposée...

[Dlzlogic]

Bonjour,

N'oublions pas que Chaa13 est au collège (je crois), et même au niveau lycée on ne sait pas encore résoudre de telles équations par ces méthodes.

Chaa13, je te conseille de taper "méthode de Cardan" sur Google. Faut bien s'accrocher pour les calculs...

Bonjour Lostounet,
J'en suis bien conscient et j'ai essayé de prendre toutes les précautions dans ce sens.
En fait, je crois bien qu'il y a une faute dans l'énoncé, et ce serait donc la première version de ev qui serait la bonne. Je pense que résoudre une équation de 3è degré n'offre guère d'intérêt, sauf s'il y a une mise en facteurs possible ou qu'on puisse appliquer des méthodes comme celle de Newton.
La méthode numérique, je l'ai donnée au début (sauf la solution de la racine unique), mais il faut s'accrocher pour la calculer.