Racine de 2 est irrationnel

[Liina]

Bonjour.
Pour ceux qui m'aideront un grand merci. :id:

On suppose que racine de 2 est un nombre rationnel , c'et=st a direque l'on peut écrire racine de 2 = a/b, avec a et b des nombres entiers premiers entre eux.
a. Démontrer que si racine de 2 =a/b alors a²=2b².
b.Démontrer que le carré d'un nombre impair est aussi un nombre impair.
c. En déduire que a est un nombre pair.

Encore mercii.

[Timothé Lefebvre]

Bonjour à toi aussi,

et où en es-tu ?

[oscar]

bonjour Démonstration




[EDIT] : supprimé.[url="http://img18.imageshack.us/my.php?image=racinede2irrationnel.jpg"]"http://img18.imageshack.us/my.php?image=racinede2irrationnel.jpg"[/url]

[Timothé Lefebvre]

Ce n'est pas vraiment aider que de la lui donner ...

[Liina]

J'ai une petite idée pr la a) mais je ne suis pas sure.
On éléve au carré ce qui fait (racine de 2)² =(a/b)². Estce bon ?

[Timothé Lefebvre]

Oui, et qu'en déduire de a ?

[Liina]

a ? Je ne comprends pas ;

[Timothé Lefebvre]

d'après ce que t as écrit, qu'en déduire sur a ?

[Liina]

qu ea est un nombre rationnel, pair.

[Timothé Lefebvre]

Voilà, a est pair, on peut l'écrire de la forme suivante : a=2c où c est un entier.

On a donc 4c²=2b²

et 2c²=b²

Et donc b est aussi pair.

Si a et b sont pairs, qu'en déduire de ?

[Liina]

qu'il sont aussi pair.

[Liina]

Encore une question. comment savoir que racine de 2 est irrationnel ?

[Timothé Lefebvre]

qu'il sont aussi pair.

Non !!
Justement c'est l'inverse !

Au début on a poser en considérant que était rationnel, c'est à dire qu'il pouvait s'écrire sous forme fractionnaire.

Comme a et b sont pairs la fraction de départ n'est pas irréductible, d'où l'absurde.

En découle : ne peut s'écrire sous forme fractionnaire, il n'est donc pas rationnel.