Question Olympiades

Réponses à toutes vos questions du CP à la 3ème
Jean2008
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Question Olympiades

par Jean2008 » 01 Oct 2022, 16:48

On a x et y positifs tel que:
sqrt(x+1) - sqrt(y+1) = sqrt(x) - sqrt(y)

Montrer que:
x = y

Svp j’arrive pas à résoudre ça



lyceen95
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Re: Question Olympiades

par lyceen95 » 01 Oct 2022, 17:34

Je réécrirais cette égalité , en mettant les 2 termes en x à gauche du signe =, et les 2 termes en y à droite du signe =.
Mais ça reste long et compliqué.

Ici, l'exercice est proposé dans la section 'collège et primaire', c'est certainement une erreur.
Quel est le niveau réel des élèves susceptibles de faire cet exercice ?
En terminale, on a des outils qui permettent de conclure rapidement.

Rdvn
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Re: Question Olympiades

par Rdvn » 01 Oct 2022, 18:25

Bonjour
Une autre solution, pour que x et y aient un rôle « symétrique » :
l'égalité énoncée est équivalente à
sqrt(x+1)+sqrt(y) = sqrt(x)+sqrt(y+1)
On élève au carré et on simplifie
Une deuxième élévation au carré conclue

Black Jack

Re: Question Olympiades

par Black Jack » 01 Oct 2022, 18:58

Bonjour,

V(x+1) - V(y+1) = V(x) - V(y)

On élève au carré ...

(x+1) + (y+1) - 2.V((x+1).(y+1)) = x + y - 2V(x.y)
x + y + 2 - 2.V((x+1).(y+1)) = x + y - 2V(x.y)
2 - 2.V((x+1).(y+1)) = - 2V(x.y)
V((x+1).(y+1)) = 1 + V(x.y)

On élève au carré ...
(x+1).(y+1) = 1 + xy + 2V(x.y)
xy + x + y + 1= 1 + xy + 2V(x.y)
x + y = 2V(x.y)
x + y - 2V(x.y) = 0
(Vx - Vy)² = 0
Vx = Vy
x = y

8-)

Rdvn
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Re: Question Olympiades

par Rdvn » 01 Oct 2022, 19:09

Re-bonjour
La solution que j'ai débutée est beaucoup plus courte
Je souhaitais que Jean2008 ait le temps d'y réflechir

Black Jack

Re: Question Olympiades

par Black Jack » 01 Oct 2022, 20:39

Rdvn a écrit:Re-bonjour
La solution que j'ai débutée est beaucoup plus courte
Je souhaitais que Jean2008 ait le temps d'y réflechir


Mais non.
On peux virer plein de lignes ... Je les ai écrites juste pour tenir l'élève par la main, mais avec un rien d'habitude, on a :

V(x+1) - V(y+1) = V(x) - V(y)

On élève au carré ...

(x+1) + (y+1) - 2.V((x+1).(y+1)) = x + y - 2V(x.y)
développer et simplifier : V((x+1).(y+1)) = 1 + V(x.y)

On élève au carré ...
(x+1).(y+1) = 1 + xy + 2V(x.y)
développer et simplifier : x + y - 2V(x.y) = 0
(Vx - Vy)² = 0
x = y

8-)

Rdvn
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Re: Question Olympiades

par Rdvn » 01 Oct 2022, 20:59

Selon le même modèle que cette deuxième rédaction
(laisser au lecteur le calcul "habituel" , vu que c'est un exercice d'Olympiade)

on élève au carré
x+1+y+2.sqrt(x+1).sqrt(y) = x+y+1+2.sqrt(x).sqrt(y+1)
on simplifie
sqrt(x+1).sqrt(y) = .sqrt(x).sqrt(y+1)
on élève au carré
(x+1).y = x.(y+1)
fin

Black Jack

Re: Question Olympiades

par Black Jack » 02 Oct 2022, 10:34

Rdvn a écrit:Selon le même modèle que cette deuxième rédaction
(laisser au lecteur le calcul "habituel" , vu que c'est un exercice d'Olympiade)

on élève au carré
x+1+y+2.sqrt(x+1).sqrt(y) = x+y+1+2.sqrt(x).sqrt(y+1)
on simplifie
sqrt(x+1).sqrt(y) = .sqrt(x).sqrt(y+1)
on élève au carré
(x+1).y = x.(y+1)
fin


Bonjour,

C'est parfaitement équivalent en "longueur" et en "difficulté"" à ce que j'ai écrit.

Rdvn
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Re: Question Olympiades

par Rdvn » 02 Oct 2022, 11:01

Bonjour
Pour un élève de 3ème, la fin de ma solution est bien plus naturelle que reconnaitre
(a-b)^2 "à l'envers" et avec des racines carrées, de plus.
Mais l'essentiel était de laisser chercher Jean2008,
quitte à comparer ensuite plusieurs solutions possibles.
C'est manqué

annick
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Re: Question Olympiades

par annick » 03 Oct 2022, 00:04

Bonsoir,

"C'est manqué"
comme d'habitude avec Black Jack.

Black Jack

Re: Question Olympiades

par Black Jack » 03 Oct 2022, 10:15

Rdvn a écrit:Bonjour
Pour un élève de 3ème, la fin de ma solution est bien plus naturelle que reconnaitre
(a-b)^2 "à l'envers" et avec des racines carrées, de plus.

Mais l'essentiel était de laisser chercher Jean2008,
quitte à comparer ensuite plusieurs solutions possibles.
C'est manqué


Bonjour,

Il me semblait que quelqu'un avait dit que pour les Olympiades, le niveau était tel que qu'il n'était pas utile de tout détailler.

Si c'est le cas, au niveau Olympiade, ne pas reconnaître immédiatement la relation remarquable (a-b)² = a²-2ab+b² (quel qu'en soit le sens) serait un très très gros handicap. :roll:

Sylviel
Modérateur
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Re: Question Olympiades

par Sylviel » 03 Oct 2022, 10:23

Il y a une convention sur le forum, en place depuis fort longtemps, et rappelée dans la charte du forum (annonces/charte-maths-forum-lire-avant-poster-t171013.html) qui indique que
1) donner une réponse complète doit être une exception
2) c'est explicitement interdit lorsqu'un autre intervenant est en cours d'échange actif avec le demandeur

On connait tes difficultés avec les conventions :roll:
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

Black Jack

Re: Question Olympiades

par Black Jack » 03 Oct 2022, 11:31

Sylviel a écrit:Il y a une convention sur le forum, en place depuis fort longtemps, et rappelée dans la charte du forum (annonces/charte-maths-forum-lire-avant-poster-t171013.html) qui indique que
1) donner une réponse complète doit être une exception
2) c'est explicitement interdit lorsqu'un autre intervenant est en cours d'échange actif avec le demandeur

On connait tes difficultés avec les conventions :roll:


Bonjour,

Les modérateurs sont là pour veiller au respect des règles.
Laisse-les donc le faire, c'est leur job, pas le tien.

C'est de toute manière assez hypocrite de donner toute la marche à suivre et laisser la partie non intéressante (les calculs)pour le demandeur ...
On ne travaille pas le sens de l'orientation de quelqu'un si on lui indique le chemin à suivre à chaque carrefour.

... Et donc, je préfère donner une réponse plus détaillée plutôt que de donner au demandeur une fausse impression d'y être arrivé (alors qu'il n'a fait qu'obéir aux indications du GPS)

La très mauvaise habitude actuelle (je ne parle pas de ce topic en particulier) est de saucissonner un problème en 36 sous questions ... qui mènent au résultat final sans que l'étudiant ait eu à faire un raisonnement global.
... On voit où cela mène.

La méthode d'aide avec indications complètes du chemin à suivre est du même type.

Mais chacun pense ce qu'il veut.

8-)

Rdvn
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Re: Question Olympiades

par Rdvn » 03 Oct 2022, 13:28

Bonjour,

C'est bien pour ça que je m'étais borné à une seule première ligne écrite, et quelques indications
très peu détaillées sur la suite, en attendant une réaction de Jean2008.

Je reste persuadé que reconnaître x+y-2sqrt(x.y) sera une difficulté sérieuse pour un élève de 3ème,
même bon élève, peut être pas excellent, mais assez courageux pour aborder un exercice exigeant, en début de 3ème, de plus !
Mais ce n'est pas l’important, ce que je cherchais c'était amener Jean2008 à constater qu'essayer plusieurs pistes peut être intéressant.
En ce qui me concerne, sauf réaction de Jean2008, j'ai dit tout ce que j'avais à dire.

GaBuZoMeu
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Re: Question Olympiades

par GaBuZoMeu » 03 Oct 2022, 14:54

Bonjour,
En passant, Black Jack, quand on donne une solution toute faite qui est du n'importe quoi comme ici : https://www.maths-forum.com/college-primaire/topic-t275917.html#p1537237, il serait sans doute honnête de le reconnaître ...

Black Jack

Re: Question Olympiades

par Black Jack » 03 Oct 2022, 15:19

GaBuZoMeu a écrit:Bonjour,
En passant, Black Jack, quand on donne une solution toute faite qui est du n'importe quoi comme ici : https://www.maths-forum.com/college-primaire/topic-t275917.html#p1537237, il serait sans doute honnête de le reconnaître ...


Pas de soucis de pointer une erreur de ma part.
Quelqu'un s'en ait d'ailleurs acquitté.

Que celui qui ne s'est jamais trompé, me jette la première pierre ... :lol:

GaBuZoMeu
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Re: Question Olympiades

par GaBuZoMeu » 03 Oct 2022, 15:51

s'en est acquitté (être et avoir)
Le problème n'est pas de se tromper. Ça arrive à tout le monde. Le problème est de ne pas dire "Oui, je me suis trompé".

Black Jack

Re: Question Olympiades

par Black Jack » 03 Oct 2022, 16:12

GaBuZoMeu a écrit:s'en est acquitté (être et avoir)
Le problème n'est pas de se tromper. Ça arrive à tout le monde. Le problème est de ne pas dire "Oui, je me suis trompé".


T'as vraiment une tête à claques.

Si tu as été ou est prof, je plains les élèves.
Il y a des personnes imbuvables ... et tu fais partie de leur communauté. :roll:

:twisted:

GaBuZoMeu
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Re: Question Olympiades

par GaBuZoMeu » 03 Oct 2022, 17:51

Que veux-tu ? Tout le monde ne peut pas être aussi aimable que toi !

Black Jack

Re: Question Olympiades

par Black Jack » 03 Oct 2022, 19:38

@ GaBuZoMeu,

Quand on ne sait pas écrire un message sans faute de français, ou faute de frappe, on évite de pointer ce type d'erreurs chez les autres.

Sur les quelques derniers messages : 5 erreurs, encore faut-il en être conscient.
C'est plus facile de voir la paille dans l'oeil du voisin que la poutre dans les siens.


1 faute.

"Il n'y a pas de problème quand à la définition des mots de Dyck."
**********
1 faute.

"Il y a un bouton "Tex" dans la fenêtre d'éfition de l'éditeur complet."
**********

2fautes.

"Alors dis mous ce qu'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz, telle qu'elle figure dans ton texte !"

:lol:

 

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