[Factorisation]Quadrinôme impossible à factoriser ???

[Phaenix]

Bonjour à tous,

J'ai hésité à poster dans "collège" ou dans "lycée", car il s'agit d'un problème un peu à cheval entre les deux.
J'ai finalement opté pour cette section...

Pour pouvoir simplifier une fraction rationnelle, j'en viens à devoir simplifier le dénominateur suivant :

x³-x²-4x-4

Malheureusement, ce quadrinôme de degré 3 est impossible à factoriser en utilisant la factorisation par x-a, car aucun diviseur du terme indépendant "-4" n'annule le polynôme.
J'utilise donc la propriété d'associativité de l'addition dans R pour écrire :

x³-x²-4x-4
= (x³-x²)+(-4x-4)

Dans la première parenthèse, je mets "X²" en évidence ; dans la seconde, je mets "-4" en évidence :

= x²(x-1)-4(x+1)

Et là... Je cale ! Si j'arrivais à "éliminer" (x-1) et (x+1), je pourrais faire le produit remarquable (différence de 2 carrés) de x²-4, mais bon je ne vois pas comment...
J'ai essayé toutes sortes de méthodes, sans résultat.

Pourriez-vous m'aider ?

D'avance merci,
Phaenix.

[Finrod]

euh, tu as toujours cette formule : http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ca/node19.html

[Nightmare]

Salut,

Ton polynôme n'a qu'une racine réelle, située entre 2 et 3. On peut appeler cette racine et factoriser.

[Lostounet]

Je te propose d'essayer une autre piste (qui ne marchera pas mais c'est bien d'essayer):
x³ - x² - 4x - 4
x (x² - x - 4) - 4
x (x² - 2 * x * 1/2 + 1/4 - 1/4 - 4) - 4
ça n'a pas l'air de marcher .

[Phaenix]

oO oulalah y a pas plus simple ? Je n'ai pas encore vu les complexes, donc je n'ai pas compris grand-chose...
Mais merci quand même ^^

[Phaenix]

x³ - x² - 4x - 4
=x (x² - x - 4) - 4
=x (x² - 2 * x * 1/2 + 1/4 - 1/4 - 4) - 4

Lostounet, tu utilises les termes de compensation, c'est ça ?
Je ne sais pas si ça peut marcher, à cause du terme indépendant qui reste...

Ton polynôme n'a qu'une racine réelle, située entre 2 et 3. On peut appeler cette racine 3$\rm \alpha et factoriser.

Nightmare, ta technique a l'air intéressante, mais je ne comprends pas bien. Pourrais-tu détailler un peu plus ?

euh, tu as toujours cette formule : http://ljk.imag.fr/membres/Bernard..../ca/node19.html

Merci de ta réponse Finrod, mais je crains que je ne sois pas encore assez avancé en math pour pouvoir comprendre cette technique ^^

[Lostounet]

J'ai obtenu la même chose. Oui.

x² (x + 1) - 2² (x - 1)
On peut essayer d'écrire tout ça sous une différence de deux carrés ?
Mais on tombe dans des ambigüités, x + 1 <0,
x + 1 > 0
x + 1 = 0...??

[Sve@r]

Nightmare, ta technique a l'air intéressante, mais je ne comprends pas bien. Pourrais-tu détailler un peu plus ?

Ton polynôme x³ - x² - 4x - 4 a une solution

Donc ton polynôme x³ - x² - 4x - 4=(x-) * (polynôme de degré 2)

[Phaenix]

On peut essayer d'écrire tout ça sous une différence de deux carrés ? Mais on tombe dans des ambigüités, x + 1 0 x + 1 = 0...??

Oui, et là ça devient assez compliqué oO

Ton polynôme x³ - x² - 4x - 4 a une solution 3$\rm \alpha Donc ton polynôme x³ - x² - 4x - 4=(x-3$\rm \alpha) * (polynôme de degré 2)

OK, merci. Mais comment dois-je faire pour trouver 3$\rm \alpha et le polynôme de second degré par lequel je le multiplie ?

[Sve@r]

Oui, et là ça devient assez compliqué oO


OK, merci. Mais comment dois-je faire pour trouver 3$\rm \alpha et le polynôme de second degré par lequel je le multiplie ?

Ben il faut diviser x³ - x² - 4x - 4 par (x-)
La division de polynôme n'est pas vraiment compliquée (bien qu'elle soit enseignée au lycée et non au collège). Toutefois, ici la difficulté est qu'on ait un nombre au lieu d'avoir une valeur numérique

Pour diviser un polynôme par un autre, on fait comme au primaire
x³ - x² - 4x - 4 divisé par (x-)
En x³ combien de fois y va x ? Réponse x²
Je multiplie donc x² par (x-) ce qui donne x³ - x² et je calcule le reste
x³ - x² - 4x - 4
-x³ - (-)x²
=0 ( + 1)x² -4x - 4

Et on continue => En ( + 1)x² combien de fois y va x ? Réponse: ( + 1)x

etc etc. La difficulté ici est que va prendre de plus en plus d'importance dans le polynôme de degré 2...

[edit] Autre façon de faire
x³ - x² - 4x - 4 = (x-) (ax² + bx + c)
Tu développes (x-) (ax² + bx + c) ce qui te donnera un autre polynôme de degré 3 et en juxtaposant les deux, tu pourras arriver à remonter les valeurs de a, b et c

[benekire2]

t'es sur que c'était pas x³ - x² - 4x + 4

( Ça aurait été simple ...)

[Phaenix]

Ben il faut diviser x³ - x² - 4x - 4 par (x-3$\rm \alpha) La division de polynôme n'est pas vraiment compliquée (bien qu'elle soit enseignée au lycée et non au collège). Toutefois, ici la difficulté est qu'on ait un nombre 3$\rm \alpha au lieu d'avoir une valeur numérique Pour diviser un polynôme par un autre, on fait comme au primaire x³ - x² - 4x - 4 divisé par (x-3$\rm \alpha) En x³ combien de fois y va x ? Réponse x² Je multiplie donc x² par (x-3$\rm \alpha) ce qui donne x³ - 3$\rm \alphax² et je calcule le reste x³ - x² - 4x - 4 -x³ - (-3$\rm \alpha)x² =0 (3$\rm \alpha + 1)x² -4x - 4 Et on continue => En (3$\rm \alpha + 1)x² combien de fois y va x ? Réponse: (3$\rm \alpha + 1)x etc etc. La difficulté ici est que 3$\rm \alpha va prendre de plus en plus d'importance dans le polynôme de degré 2...

Ah OK on fait juste la division par X-, mais ça ne permet pas d'attribuer de valeur à alpha, si ?

t'es sur que c'était pas x³ - x² - 4x + 4

( Ça aurait été simple ...)
Aujourd'hui 16h18

Malheureusement oui, le polynôme est bien x³-x²-4x-4...

[Sve@r]

Ah OK on fait juste la division par X-, mais ça ne permet pas d'attribuer de valeur à alpha, si ?

Non. Et tes autres solutions dépendront elles aussi de !!!

D'ailleurs, si tu regardes l'allure de ta courbe (http://www.mathe-fa.de/fr), tu verras qu'elle n'a qu'une valeur de x pour laquelle ton polynôme s'annule. Ca veut dire que le polynôme de degré 2 issu de la division ne sera pas factorisable (avec les nombres réels)