Produit de deux relatifs negatifs

[ludivine860]

Bonjour a tous,
bon voila, j'essaye de remettre a niveau mon fils en 4eme, on commence doucement mais je bute déjà!
je ne comprends pas pourquoi 2 relatifs negatifs donneraient un resultat positif ? la règle je la connais mais je n'arrive pas a schématiser et ca pose probleme car on comprend tout de suite mieux avec un schema ou une echelle et la c'est incoherent (-4) x (-2) comment ca pourrait donner un positif ?
j'ai fais des recherches sur internet et j'ai rien trouvé qui m'aide a comprendre....

je vous remercie de votre aide,
a bientot

[beagle]

par exemple:
les positifs ce sont des pas qui avancent
les négatifs ce sont des pas qui reculent

il faut commencer par addition soustraction:
par exemple : +5 , -2,+1 ,-4,+7
cela te fait avancer de 5+ 1+ 7 moins 2 moins4
13 avance 6 recule
tu avances de 7

et bien la multiplication est une addition répétée
et si j'ajoute de façon répétée des moins 2 pas en arrière : -2, -2,-2,-2,-2
je vais aller 5 fois moins 2, je vais -10 , je vais 10 pas en arrière

maintenant si dans ton addition des pas qui avancent ou reculent, si tu veux enlever trois fois moins 5
tu auras moins (-5), moins (-5), moins(-5)
ta multiplication avec son -3 fois le (-5),
ben elle va rajouter 5, rajouter 5, rajouter 5
-3 x (-5) = +3x5

enlever de façon répétée des pas en arrière, c'est avancer

si , +4,-2,+1,+5,-2,-2,+4,-5,-2,
j'ai avancé de 1 pas en avant

alors j'enlève 4 fois les -2 pas en arrière,
moins (-2), moins(-2), moins (-2), moins (-2)
4 fois j'enlève c'est -4 fois, j'enlève quoi
du (-2)
c'est bien un (-4 )x (-2)
et alors on a:
+4,+1,+5,+4,-5 = +9, j'ai avancé de 9 pas en avant

[chan79]

Bel effort, beagle !
Il y a quelques années, persuadé qu'il ne resterait rien de justifications du genre "il faut que la distributivité reste valable dans tous les cas ...", je leur avais proposé de deviner la règle de multiplication des signes en prenant des exemples avec leur calculatrice ! Bon, il y avait de quoi avoir honte et je n'étais pas loin de me cacher sous le bureau mais finalement, ils avaient été actifs et ont bien retenu la règle et n'attendaient pas de justifications supplémentaires. Ils nous avaient fait confiance, à moi et à la calculatrice ...
Bien-sûr, le plus important est de s'entrainer à faire des calculs pour assimiler ces règles.
Exemple: calculer a-bc en replaçant a par 5, b par (-8) et c par (-5)

[beagle]

"Bel effort, beagle !"

ça date de ma fille!
Je faisais des pas en avant et des pas en arrière dans sa chambre!

[capitaine nuggets]

Salut !

Peut-être un peu plus mathématiques et moins intuitif...
Puisque et que , on a :



; or un nombre multiplié par lui-même est égal au carré de ce nombre donc et ainsi :



Il suffit donc de savoir ce que peux bien valoir . Pour alléger les écritures, posons . Pour montrer que , il suffit de remarquer que . En élevant de chaque côté au carré, on a :



; on développe donc avec la distributivité :

; on transforme toutes les écritures pour avoir de quand on a des entiers négatifs :
; après simplifications :




Par conséquent, on vient de montrer que le nombre , vérifie l'équation .
Il suffit donc de résoudre cette équation pour trouver :

En enlevant de chaque côté, on a ;
En ajoutant de chaque côté, on a ;
En divisant par de chaque côtés, on a .

Donc et ainsi .

[ludivine860]

re,
merci de vos reponses,
bon je creuse vos explications, mais sur une echelle ca donne quoi ?
c'est logique avec un produit de 2 positifs, ou de signes contraires mais 2 negatifs impossible a schematiser!
desolée d insister, je pourrai m'arreter la et appliquer mais j'ai besoin de voir pour comprendre!
sur une echelle si je retire 4 fois -2 ben j'ai toujours -8.
pouvez vous schmeatiser ?
ca va me rendre dingue !
merci de votre temps

[pascal16]

Là tu retires 4 fois 2 et pas -2.
retire-> une fois le signe -
2 -> signe +

tu peux le voir comme "4 fois de suite, j'ai oublié de retirer 2".
j'en ai 8 en trop, donc +8
4 fois : est positif
oublier : un négatif
retirer : un négatif
ça fait 4*(-1)*(-2)
en admettant que 4*(-1), c'est (-4), ça donne la bonne formule (-4)*(-2)=8

On trouve très facilement dans la vie courante des soustractions de nombres négatifs, mais jamais de multiplication.

On peut apprendre par coeur " moins fois moins, ça fait plus", c'est ce qu'il y a de mieux

[beagle]

"bon je creuse vos explications, mais sur une echelle ca donne quoi ?"

C'est déconseillé sur une échelle , au niveau de la responsabilité civile du site maths forum.
Mais si tu nous signes une décharge.
Donc sur une échelle on monte des barreaux c'est + , quand on descend c'est moins.

+3, -2,+3,-2,+3,-2,+3,-2
est un jeu où tu montes 3 et redescends de 2.
fais le calcul mais tu es sur le barreau 4, tu as monté de 4

enlève les fois où tu redescends, cela s'appelle bien enlever les -2,
et cela s'appelle bien enlever 4 fois , (-4 x )
et bien ton moins 4 fois le moins deux c'est :
+3, +3, +3 , +3
fais gaffe maintenant t'es en haut de l'échelle sur le barreau 12, t'es à +12
+12 au lieu de +4, moi je dis que d'enlever 4 fois les descentes de deux barreaux cela fait monter de 8, de +8

sinon la multiplication par un entier positif c'est l'addition répétée autant de fois que cet entier
et la multiplication par un entier négatif, c'est la soustraction répétée autant de fois que cet entier.

[beagle]

"one more time to be free" the clash London calling je crois

Dans ton exo tu fais une erreur, bon ça va,
tu multiplies les erreurs, hum génant.
Tu enlève les erreurs, ben tu te retrouves dans le bon sens de l'exo.
enlever du négatif, c'est positif.

Enlève le négatif qui est en toi.
Lao beagle!

PS: c'est pas dans le fabuleux London Calling
http://www.bing.com/videos/search?q=one ... ORM=VRDGAR

[Pseuda]

Bonjour,

Prenons un exemple avec de l'argent (c'est de là que vient souvent les positifs et les négatifs), et cela parle, même aux jeunes.

Par exemple, on vend un certain nombre de cahiers à un certain prix chacun. Si on vend 4 cahiers de moins, à 2 € de moins chacun, on perd de l'argent certes par rapport à la situation précédente, mais on perd 8 € de moins du fait de la conjonction de ces deux éléments.

Je m'explique. Par exemple, on achetait 10 cahiers à 5€ chacun, on gagnait 50€. On en vend 4 de moins, cela nous fait perdre 4*5=20 €. Ou bien, on les vend chacun 2 € de moins, cela nous fait perdre 10*2=20 € encore. Mais on n'a pas perdu 40 €, mais que 32 € (50€ - 18€, 18 € = 6 cahiers * 3 €), soit une différence positive de 8 €, car on ne perd pas (donc on gagne) les 2 € vendus moins cher par cahier sur les 4 cahiers non vendus, donc on gagne 8 € : (-4)*(-2)=+8 !

[ludivine860]

le coup de l'exo c'est pas mal!!lol
" enlever 4 fois la descente de 2 barreaux" ou " 4 fois de suite j'ai oublier de retirer 2" ca commence a rentrer! je crois....
et dire que je suis seulement a la lecon 1 du cahier...j'ai peur
je suis beaucoup plus patiente pour les maths aujourd'hui qu'a mes 15 ans mais je suis toujours aussi nulle!
bon sinon je fais comme les autres: je retiens la regle et j'applique...sera plus simple non ?
merci a tous du coup de main,

[ludivine860]

vous m'avez perdu au rayon cahier...lol

[Pseuda]

Ou tout simplement, le contraire du contraire de grand par exemple, c'est grand. Donc (-)x(-)=(+).

Ou encore, économiser sur une dépense (une économie, cela vient en moins sur une dépense, qui est elle-même négative), c'est gagner de l'argent. On économise 4 fois 2 € (sur une facture par exemple), donc on gagne 8 €.

[ludivine860]

oui c'est marrant avec les economies ca parle bien!
j'economise ( je retire) 4 fois 2 euros ( depense) je gagne bien 8 euros, bon je vais pouvoir lui vider mon sac ce soir....j'espere que je vais pas le perdre en route....
merci a tous

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Tout se base sur le fait que R est un anneau intègre.

[beagle]

Bonjour ;

Tout se base sur le fait que R est un anneau intègre.

euh son fils est en quatrième:"remettre a niveau mon fils en 4eme"
au mieux il aura lu ou vu "le seigneur des anneaux".

[aymanemaysae]

Bonsoir ;

Bonjour ;

Tout se base sur le fait que R est un anneau intègre.

euh son fils est en quatrième:"remettre a niveau mon fils en 4eme"
au mieux il aura lu ou vu "le seigneur des anneaux".

Je sais bien , mais c'était une façon de dire qu'il était très difficile de répondre à cette question : Voir ce lien qui montre la difficulté : http://maths.ac-orleans-tours.fr/filead ... latifs.pdf .

Un autre exemple de ces questions qu'un enfant de cinq ans peut poser et qu'un excellent professeur peut trouver des difficultés à y répondre : pourquoi un et un font deux ? Je crois que la réponse n'est pas simple .

[beagle]

Bonsoir ;

....

Je sais bien , mais c'était une façon de dire qu'il était très difficile de répondre à cette question : Voir ce lien qui montre la difficulté : http://maths.ac-orleans-tours.fr/filead ... latifs.pdf .

Un autre exemple de ces questions qu'un enfant de cinq ans peut poser et qu'un excellent professeur peut trouver des difficultés à y répondre : pourquoi un et un font deux ? Je crois que la réponse n'est pas simple .

Merci de cette précision.
Maintenant je trouve que - par - fait plus, cela passe très bien en langage commun, enlever des choses négatives, on voit bien que c'est positif.
Et avec les entiers on a la chance de pouvoir définir la multiplication comme addition répétée ou soustraction répétée, le cas me semble "facile".
La difficulté vient souvent de savoir si le - est le - opération soustraction ou si le moins appartient au nombre devant lequl il est situé.Nous on s'en fiche, mais cela bloque certaines situations chez l'élève.

Sur le 1 et 1 font deux, là je ne vois pas du tout.C'est la définition du deux que d'ètre 1 et 1, donc je ne me vois démontrer ensuite qu'il vérifie cela.Le 2 nait ainsi.Je ne pense pas qu'un enfant de maternelle et CP demande d'ailleurs une démonstration.Dans l'apprentissage de la cardinalité il apprend comment cela s'appelle, il apprend qui a plus ou qui vient après ...Faudrait préciser la demande mais démontrer que 1 et 1 font 2 perso je comprends même pas.

[Pseuda]

Bonjour,

Un autre exemple de ces questions qu'un enfant de cinq ans peut poser et qu'un excellent professeur peut trouver des difficultés à y répondre : pourquoi un et un font deux ? Je crois que la réponse n'est pas simple .

Démontrer que 1+1=2, moi non plus je ne vois pas. Dès que l'on dit que les entiers se suivent de 1 en 1 en partant de 0 (de rien, donc 1 est le premier entier), que 2 est l'entier qui suit 1, c'est donc par définition que 1+1=2, et que 3+1=4. Par contre, démontrer que 2+3=5 demande une petite réflexion, voyons à 2 pour ajouter 3, il faut ajouter 1, puis 1, puis encore 1, on arrive bien à 5. Il me semble plus dur (si bien entendu on ne connaît pas l'introduction de N) de démontrer que 2+3=3+2 et qu'en général, n+p=p+n pour tous p et n entiers naturels, mais là encore un petit schéma et tout devient évident.

La difficulté vient souvent de savoir si le - est le - opération soustraction ou si le moins appartient au nombre devant lequl il est situé.Nous on s'en fiche, mais cela bloque certaines situations chez l'élève.

C'est vrai que les élèves mélangent le - devant le nombre, et le - de la soustraction (il faut montrer qu'ajouter -3 revient à soustraire 3). D'ailleurs, la calculatrice le distingue. Ils mélangent aussi -2-3 et -2(-3). Dans le 1er cas, les - s'ajoutent et le résultat est négatif, dans le 2ème, ils se multiplient et il est positif.

Pour terminer, je crois avoir admis immédiatement que (-4)(-2) cela fait +8 et non pas (-8), parce que 4(-2)=-2-2-2-2 fait déjà (-8), donc si (-4)(-2) donne le même résultat que (4)(-2), c'est que 4=-4, impossible. Avec le fait que le contraire du contraire c'est lui-même, diminuer une dépense c'est faire un gain, tout collait !