Pourquoi la définition d'une variété C^k a-t-elle un sens ?

[tenyru]

Bonjour,

Je dois bientôt passer un examen sur la géométrie différentielle (le cours était basé sur l'introduction de Lee aux collecteurs lisses).

Nous avons défini deux cartes \phi : U \to \phi(U), \psi : V \to \psi(V) compatibles avec C^k lorsque \psi \circ \phi_1^{-1} : \phi(U \cap V) \to \psi(U \cap V) est un difféomorphisme C^k.

Un atlas a été défini comme maximal lorsque chaque carte compatible C^k avec chaque carte de l'atlas est déjà dans l'atlas.

J'ai deux questions.

Pourquoi devons-nous utiliser un atlas maximal pour une variété C^k ?

Pourquoi définissons-nous la variété comme étant C^k alors que toutes les cartes de l'atlas sont compatibles avec C^k ? Pourquoi ne disons-nous pas simplement que c'est C^k alors que tous les graphiques sont C^k ?

J'espère que quelqu'un pourra m'expliquer cela, car j'aimerais comprendre pourquoi cette définition a du sens plutôt que de simplement l'apprendre par cœur