Oprération en base n

[mellesamia]

Soit le plus grand nombre que l'on peut ecrire en base n avec deux chiffres :
(n-1) (n-1) base n ( donc écriture avec une barre au-dessus et le petit n
Quel est le plus petit entier n pour lequel le nombre 224 (écrit en base 10) s'écrira en base n avec deux chiffres ?

[Pseuda]

Bonjour,

Si n=10, 224 s'écrit avec 3 chiffres, héhé (désolée je suis sur portable et je n'ai pas les smileys), donc 10 est trop petit.

n=11, il y a des chances pour qu'il soit trop petit aussi.

En fait n est tel que le plus grand nombre que l'on peut écrire avec 2 chiffres soit supérieur ou égal à 224.

Cad tq (n-1)n+n-1>=224. Soit tu résous, soit tu fais n=11, 12, etc... et tu t'arrêtes dès que l'inéquation est vérifiée.

[Black Jack]

(n-1)*n + (n-1) >= 224

n² - n + n - 1 >= 224
n² >= 225
n >= 15

Il faut écrire en base 15
***
Si on adopte la convention suivante :

décimal - chiffre en base 15

0 - 0
1 - 1
2 - 2
3 - 3
4 - 4
5 - 5
6 - 6
7 - 7
8 - 8
9 - 9
10 - A
11 - B
12 - C
13 - D
14 - E

Alors 224 décimal s'écrira en base 15 : EE

[nodgim]

On peut dire aussi que le nombre qui suit le plus grand nombre qui s'écrit avec 2 chiffres est 100, c'est à dire n².
D'où 224 = n² - 1 et donc n = 15.

[Internaute]

Le carré de la base est en toute logique le plus petit s'entier ayant trois chiffres. Cette même base est donc celle pour lequel le nombre précédent immédiatement le carré de cette base est la plus petite.

La base (laquelle est la plus petite base dans laquelle le nombre que vous sélectionnez s'écrive avec deux chiffres) est donc représenté par l'équation , si et seulement si est un nombre carré, c'est à dire que sa racine carré est un nombre entier. Et il se trouve que , et que est bien un nombre carré, puisque sa racine carré est .

Donc si le nombre noté est le plus petit entier en base duquel le nombre s'écrive en deux chiffres, alors .

[mellesamia]

Merci à tous pour vos réponses,

Je pense que pour 80% des fois où je n'arrive pas un exercice, c'est la question que je ne comprends pas.

[mellesamia]

J'ai l'impression que seule, je n'aurais jamais pu comprendre que ce que l'on me demandait se traduisait en "(n-1)*n + (n-1) >= 224"
Et malheureusement, il n'y a pas de formule mathématiques pour conditionner le cerveau a comprendre ce qu'on nous demande.

[Pseuda]

Bonjour,

Face à un problème comme celui-là, tu peux te rendre compte que plus la base n est grande, moins on a besoin de chiffres pour écrire les nombres, et en particulier un même nombre.

Le mieux c'est de prendre un exemple, par exemple 224 (écrit en base 10).
En base 2, 224 va s'écrire avec beaucoup de chiffres (8 chiffres car 2^7=128 et 2^8=256), en base 3, 5 chiffres, etc..., en base 10, 3 chiffres (héhé), en base 11 peut-être 3 chiffres encore, etc...
Il va arriver un moment où on n'aura besoin que de 2 chiffres. Puis plus que d'1 seul chiffre : en base 225 (9 en base 10 s'écrit avec un seul chiffre).

Une fois que tu t'es bien imprégnée du problème avec un exemple, tu peux comprendre l'énoncé : à partir de quelle base n, on passe de 3 chiffres à 2 chiffres pour écrire 224.

Eh bien (super astuce) dès que n est assez grand pour que le plus grand des nombres que l'on puisse écrire avec 2 chiffres en base n dépasse 224, c'est-à-dire dès que... après c'est une affaire de calcul.

Mais j'avoue que ce problème me paraît assez difficile au collège.