Numération de position avec inconnus

[mellesamia]

Bonjour,

J'essaie désespérément de faire un exercice de Numération de position avec inconnus.

Mon sujet est le suivant : "On s'intéresse aux propriétés de divisibilité des nombres dont l'écriture en base dix est de la forme abbcca (en écriture mathèmatiques, elle comporte une barre au-dessus des lettres).

1 | Montrer que tout entier de cette forme est divisible par 11

2| Montrer que tout entier de cette forme est divisible par 9 si et seulement si la somme a+b+c= 9,18 ou 27."

A la question 1, j'ai répondu correctement abbcca = 100000a+10000b+1000b+100c+10c+a =100001a+11000b+110c=11(9091a+1000b+10c) donc, tout entier du type abbcca est divisible par 11.

Mais pour la 2 |, je bloque : la correction m'explique pourtant > "100 001 = 11 111 * 9 + 2 ; 11 000 = 1 222 * 9 + 2 et 110 = 12 * 9 + 2
(ce que je peux lire, mais déjà là, je ne comprends pas comment j'aurais pu le retrouver seule)
Donc abbcca = 9(11 111a + 1 222b + 12c) +2a +2b+2c.
Comme 9(11 111a + 1 222b + 12c) est divisible par 9, donc abbcca est divisible par 9 si et seulement si 2(a+b+c) est divisible par 9 donc si et seulement si a+b+c est divisible par 9.
Puisque a,b et c sont des chiffres de la numération en base 10, ils sont compris entre 0 et 9, et donc la plus grande valeur de a+b+c est 27, d'où a+b+c vaut 9,18 ou 27."

Merci de votre aide.

[nodgim]

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres l'est. Comme la somme des chiffres est 2 (a + b + c), c'est divisible par 9 si a + b + c l'est. Et comme a + b + c ne peut valoir 0, ni plus que 3*9 = 27, alors les sommes possibles sont 9, 18 ou 27.

[mellesamia]

Bonjour,

Merci de votre réponse, en effet, je garderais bien en tete cette règle pour reconnaitre les nombres divisibles par 9.
Mais comment je peux arriver à trouver seule cette première ligne de la correction ?
100 001 = 11 111 * 9 + 2 ; 11 000 = 1 222 * 9 + 2 et 110 = 12 * 9 + 2

[nodgim]

Perso, je ne vois pas en quoi la 1ère ligne de la correction fait avancer la réponse. A partir du moment où on connait la règle de divisibilité par 9 , il n'y a pas besoin de passer par là. Cependant, peut être cette règle est inconnue pour toi ? Elle se retrouve facilement, mais je ne sais pas si ça fait partie de ce que tu es censée connaitre.

[nodgim]

On peut expliquer la règle de divisibilité par 9 comme ça :
10 = 9 + 1
a0 = a * 10 = a ( 9 + 1) = 9 *a + a
Le reste de la division par 9 de " a0 " est a.
De même le reste de la division de " a00" par 9 est a
etc...
Donc un nombre quelconque abcd... a pour reste de division par 9 le reste de la somme a+b+c+d+....
Et donc un reste nul caractérise la divisibilité par 9.

[mellesamia]

Oui en effet cela fait partie de ce que je dois connaître, j'avais déjà vu les règles de divisibilité pour 3, 9, 5...