Nombre de chiffres de N=2^56

[Dinozzo13]

Oups, 'me suis trompé de rubrique :ptdr:
Je le déplace sur le lycée ^^

[Lostounet]

Oups, 'me suis trompé de rubrique :ptdr:
Je le déplace sur le lycée ^^

Salut Dino!!
Pour que ce topic ne soit pas inutile, je te montre ma méthode (un peu bête) pour trouver le nombre de chiffres de 2^56:

On examine le "comportement" des multiplications successives des 2; On remarque que chaque 2^7 qu'on met en facteur "rajoute 2 chiffres" au nombre en question (Le 2^7 initial a 3 chiffres).

Ainsi, 2^7 a 3 chiffres, multiplions par 2^7 encore une fois, on 'ajoute' 2 chiffres. Multiplions encore une fois par 2^7, on ajoute 2 chiffres. Etc, etc

On doit donc 'ajouter' aux trois chiffres initiaux (3) déjà issus d'un 2^7 les chiffres correspondants aux autres "7" 2^7, soit 7 * 2 chiffres, donc 14 chiffres.

14 + 3 = 17

Alors on obtient 17 chiffres pour ce nombre..

[Dinozzo13]

oui, pas bête, c'est bien 17.
Mais si on prends un autre nombre saurais-t-on le refaire ?
De plus, tu te bases sur des constatations, rien ne dit que ca marchera mieux avec d'autres nombre.

[Lostounet]

Oui.. Je pense qu'à partir d'un certain rang, ça ne va pas marcher vu les unités qui s'entassent..
Mais je n'ai pas le courage de traiter un autre cas, tu imagines un peu x)

[Dinozzo13]

oui, mais chapeau quand même ^^

[Lostounet]

Merci ;D Mais mais une question s'impose.. as-tu une autre méthode collégienne?
Parce que l'autre topic m'a effrayé..! Log(^4) = 492e

Sinon, j'attends 1 - 2 ans :D

[Dinozzo13]

hé bien, non, je n'ai pas d'autre méthode, c'est un exo que j'ai trouvé, où il figurait la solution mais je ne l'ai pas saisie moi non plus, il manque des détail et des explications.

[Sve@r]

Salut Dino!!
Pour que ce topic ne soit pas inutile, je te montre ma méthode (un peu bête) pour trouver le nombre de chiffres de 2^56:

On examine le "comportement" des multiplications successives des 2; On remarque que chaque 2^7 qu'on met en facteur "rajoute 2 chiffres" au nombre en question (Le 2^7 initial a 3 chiffres).

Ainsi, 2^7 a 3 chiffres, multiplions par 2^7 encore une fois, on 'ajoute' 2 chiffres. Multiplions encore une fois par 2^7, on ajoute 2 chiffres. Etc, etc

On doit donc 'ajouter' aux trois chiffres initiaux (3) déjà issus d'un 2^7 les chiffres correspondants aux autres "7" 2^7, soit 7 * 2 chiffres, donc 14 chiffres.

14 + 3 = 17

Alors on obtient 17 chiffres pour ce nombre..

Moi je montre la mienne: j'ouvre un module de programmation Python et je tape

>>> len(str(long(2) ** 56))
17

:id: :id: :id:

[pub]Python, langage de script orienté objet, disponible en natif sous Linux et disponible en téléchargement pour Windows[/pub]

Bon, mis à part ça, c'est joliment raisonné :zen:

[Black Jack]

n = 2^56

log(n) = 56.log(2) = 16,857... (ici, c'est le logarithme décimal).

n = 10^16,857

2^56 a donc 17 chiffres (l'entier immédiatement supérieur à 16,857...)

:zen:

[benekire2]

Salut !

Lostounet, en fait la méthode t'éffraie peut être mais c'est assez "concon" mais pas évident pour un prequelycéen comme toi :

Essaye de te représenter la fonction définie sur R par x --> 10^x
Sa représentation graphique est y=10^x et donc quand on cherche a "renverser" cette égalité et avoir x en fonction de y on décrète que la fonction log est telle que si y=10^x alors log(y)=x et une de ses propriétés super intéressantes c'est que log(a^b)=blog(a) et puis on remarque aussi que log(10)=1 ce qui est plutôt cool.

Donc maintenant tu sais que pour un entier N si 10^(n-1)
n-1
P.S E(x) c'est la partie entière de x ...
P.S.2 Mais bon, cette méthode est mécanique, la tienne plus mieux :we:

[Finrod]

n = 2^56

log(n) = 56.log(2) = 16,857... (ici, c'est le logarithme décimal).

n = 10^16,857

2^56 a donc 17 chiffres (l'entier immédiatement supérieur à 16,857...)

:zen:

+1 et ça se fait très bien à la calculette. :smoke:

[Lostounet]

@ Bene:

Salut Bene, je viens de repérer ce post, 10 jours plus tard :x

Merci pour tes explications ! J'ai plus ou moins compris le truc dans l'ensemble mais pas trop trop '
n-1
Merci encore :)

[mathelot]

Bonjour,

voilà un "bidouillage" mais compréhensible au collège pour avoir
une idée du nombre de chiffres d'un entier de la forme



1ère étape

on dit que chaque fois que l'on rencontre , cette quantité est proche de 1000 et possède environ 4 chiffres.

exemple:
donc a à peu près 31 chiffres. c'est un ordre de grandeur

on connait donc aussi l'ordre de grandeur de et
car et


2ème étape
quand on mutiplie un nombre par 1000, ça lui rajoute 3 chiffres

exemple:
la partie entière du nombre a trois chiffres de plus

3ème étape
on écrit un nombre en notation scientifique





est de l'ordre de grandeur de

la multiplication par va ajouter
4020 chiffres (tous des zéros)

donc a environ 1005+4020=5025 chiffres
pour sa partie entière.

en réalité possède 5020 chiffres
pour sa partie entière

conclusion: c'est ce genre de considérations qui ont amené
à la découverte d'une fonction particulière , le logarithme décimal.
Cette fonction exprime n'importe quel nombre comme une puissance de 10,
même ou .Bien sûr , l'exposant ne sera pas entier.