Nombre avec 100 chiffres 9

[sath]

Bonjours, voici le problème ouvert que je n'arrive pas a résoudre:

Un nombre s'écrit avec 100 chiffres 9. On le multiplie par 198.
On additionne tous les chiffres du nombre obtenue.


Quelle est la sommes trouvée?


Merci

[malomodiano]

J'ai trouvé cette réponse sur un site mais je ne l'ai pas vérifiée. A toi de le faire :

multiplier le nombre par 99 revient à le retrancher de son centuple
le centuple est cent 9 et deux 0
en retranchant (le nombre de départ moins 99), on a deux 9 suivi de cent 0
en retranchant encore 99, le nombre de centaines du résultat est remplacé par son précédent et les deux derniers chiffres deviennent 01 : donc un 9, un 8, quatre-vingt-dix-huit (nonante-huit) 9, un 0, un 1

quand on multiplie par 2, les deux derniers chiffres du produit sont O2; le dernier 9 donne 8; les 9 qui précèdent reçoivent tous une retenue et donne 9; le deuxième chiffre 8 reçoit aussi une retenu et donne 7; enfin le premier chiffre 9, toujours avec une retenue donne 19
le produit final est : 197999...999802 avec quatre-vingt-dix-sept 9 consécutifs
la somme des chiffres est 1+9+7+(9*97)+8+0+2 = 900
comme pour le nombre de départ !

[sath]

Bonjours, nous sommes dans le chapitre des calculs littéraires et voici le problème ouvert que je n'arrive pas a résoudre:

Un nombre s'écrit avec 100 chiffres 9. On le multiplie par 198.
On additionne tous les chiffres du nombre obtenue.


Quelle est la sommes trouvée?


Merci

[ampholyte]

Bonjour,

Prenons un exemple plus simple.

Un nombre s'écrit avec 2 chiffres 9. On le multiplie par 198.
On additionne tous les chiffres du nombre obtenue.

Quelle est la sommes trouvée ?


Recommence avec 3, 4 et 5 chiffres

Que trouves-tu ? Qu'est-ce que fait la multiplication par 198 ?

[chan79]

salut
on peut essayer de développer

[sath]

J'ai trouvé que quand on ajoute un nombre au facteur:

1)99x198=19 602
2)999x198=197 802
3)9999x198=1 979 802
4)99999x198=19 799 802
5)999999x198=197 999 802

J'ai remarqué qu'il fallait ajouter un 9 après le 7 si on augmente un 9 dans le facteur.

Merci

[ampholyte]

Bonjour,

Tu as trouvé ce que je voulais que tu remarques c'est parfait.

Prenons ces cas là :

* Pour 4 9 on obtient : 9999x198=1 979 802 => 1 + 7 + 8 + 0 + 2 + 2*9 = 18 + 2*9
* Pour 5 9 on obtient : 99999x198=19 799 802 => 1 + 7 + 8 + 0 + 2 + 3*9 = 18 + 3*9
* Pour 6 9 on obtient : 999999x198=197 999 802 => 1 + 7 + 8 + 0 + 2 + 4 * 9 = 18 + 4 * 9

Tu peux faire le lien entre le nombre de 9 du chiffre principal et le nombre de 9 à l'arrivée.

Tu peux donc conclure :

Pour 100 9 on obtient : 18 + ... * 9 = ... (je te laisse déduire avec ce que j'ai marqué au dessus le nombre de 9 qu'il faut).

[sath]

Pour 100 9 on obtient : 18 +98 * 9 =900

On additionne tous les chiffres= 9+0+0=9


Merci beaucoup pour ton aide mais mon prof a dit qu'il était obliger d'utiliser X. Donc peut tu me aider.

[ampholyte]

18 +98 * 9 =900
On additionne tous les chiffres= 9+0+0=9

Attention l'addition de tous les chiffres est : 900 (vu que 18 + 98*9 correspond à la somme des chiffres du nombre obtenu par la multiplication de 100 9 et de 198)

Je ne comprends pas ce que tu veux dire que ton prof est obligé d'utiliser X.

[beagle]

(9999...999 +1 -1)x198
(10000...000 -1)x198
198000......-198

quand on soustrait 198cela va se terminer par 802
et la retenue à reporter indéfiniment entraine des 9999 jusqu' 198-1 =197

résultat
197999...999802

il faut juste faire gaff au nombre de 9 à chaque fois

bon ben pour ton prof on a fait une multiplication, va ètre content.

[ampholyte]

(9999...999 +1 -1)x198
(10000...000 -1)x198
198000......-198

quand on soustrait 198cela va se terminer par 802
et la retenue à reporter indéfiniment entraine des 9999 jusqu' 198-1 =197

résultat
197999...999802

il faut juste faire gaff au nombre de 9 à chaque fois

bon ben pour ton prof on a fait une multiplication, va ètre content.

Ha c'était une multiplication /o\, merci j'étais parti un peu plus loin