Les fonctions sont-elles de dimension infinie ?

[heoun]

Donc, mon professeur n'arrête pas de dire que les fonctions sont de dimension infinie, et je pense que c'est parce qu'il y a une quantité infinie de points. Mais nous parlons aussi de fonctions quadratiques et disons qu'elles sont tridimensionnelles, une seule étant unidimensionnelle, par exemple x^2+2x+3 est une dimension, c'est-à-dire que vous pouvez la multiplier par des scalaires. la base 1,x,x^2 forme un espace vectoriel tridimensionnel contenant tous les polynômes quadratiques. Alors, les quadratiques sont-ils en trois dimensions ou en dimensions infinies ?

[lyceen95]

Donc, mon professeur n'arrête pas de dire que les fonctions sont de dimension infinie, et je pense que c'est parce qu'il y a une quantité infinie de points.
Non, ce n'est pas ça la raison.

Considérons 10 fonctions.
Par exemple ; ; ... etc
Considérons ensuite toutes les fonctions de la forme f(x) = a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x) + a_3 f_3(x) ...
C'est un ensemble de fonctions, mais un tout petit ensemble parmi l'ensemble de toutes les fonctions.
Et c'est un ensemble de dimension 10. Une base de cet ensemble, c'est la liste des 10 fonctions que j'ai choisies. J'aurais pu glisser dans le lot une fonction sinus ou log ou autre chose.
On peut pousser plus loin, je suis parti de 10 fonctions, j'aurais pu partir de 1000 fonctions construites de la même façon. Et même comme ça, même avec cet ensemble de dimension 1000, on couvre une toute petite partie de l'ensemble de toutes les fonctions.

[poipoi34]

C'est pas tres clair quand tu dis les fonctions sont de dimensions infinie, on dira plutot l'espace vectoriel des fonctions est de dimension infini.
Ensuite, par definition de la dimension, un espace est de dimension infinie si il n'existe pas de famille génératrice finie. Les quadratiques sont donc de dimension fini puisque généré par la famille {1,x,x²}.
L'espace vectoriel des fonctions est de dimension infini. Pour le prouver il faut donc montrer que si je prends une famille finie de fonction, celle ci n'engendre pas l'ensemble des fonctions, par exemple en donnant un exemple de fonction qui n'est pas combinaison linéaire des fonctions dans la famille.

[mathelot]

bonsoir,
l'espace vectoriel des fonctions réelles à valeurs réelles est de dimension infinie
car il contient la famille libre

[Black Jack]

Bonjour,

Je me pose la question de savoir si le sujet est d'un quelconque intérêt au niveau "Collège et Primaire".

Posté à un mauvais niveau ?