i) Factorise
ii) Factorise(généralisation du i))
[3e +] Fonctions - Calcul littéral - Exercices d'approfondissement
par Zweig » 10 Nov 2010, 10:57
Rendez-vous dans 1 an .... Je remonte ce topic pour Lostounet, peut-être avec le recul depuis l'année dernière, tu pourras résoudre mon exercice qui, je le rappelle, est :
par Lostounet » 10 Nov 2010, 18:18
Salut Zweig..! Je peux essayer ;)
I -
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
(c - b)^3 = c^3 - 3c^2b + 3cb^2 - b^3
(a - c)^3 = a^3 - 3a^2c + 3ac^2 - c^3
On a donc que:
Voilà, je sais pas si j'ai fait une faute quelque part..
3abc (-a/c + b/c + c/a - b/a + a/b + c/b)
I -
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
(c - b)^3 = c^3 - 3c^2b + 3cb^2 - b^3
(a - c)^3 = a^3 - 3a^2c + 3ac^2 - c^3
On a donc que:
Voilà, je sais pas si j'ai fait une faute quelque part..
3abc (-a/c + b/c + c/a - b/a + a/b + c/b)
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par Zweig » 10 Nov 2010, 18:45
Ah oui d'accord, j'avais pas pensé à ça ... C'pas faux, mais ce n'est pas la factorisation que j'attendais (bien plus simple) ... Bon, pour te mettre sur la voie, j'attends que tu montres (sans développer le membre de droite, bien entendu) : ^3 + (b-c)^2 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a))
Indication : réécris le membre de gauche comme un polynôme du second degré en a ; trouve ses racines ; en déduis la factorisation
Indication : réécris le membre de gauche comme un polynôme du second degré en a ; trouve ses racines ; en déduis la factorisation
Cette fois-ci, c'est la bonne.
par Lostounet » 10 Nov 2010, 19:09
Je vais reprendre la méthode que tu as proposé dans ton post d'il y a un an.
On pose^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3)
1) Développons et réduisons S
Considérons le polynôme P donné par:
 = (v-u)X^2 + (u^2-v^2)X + uv^2 - u^2v)
On calcule le discriminant
^2 - 4 \time (v - u) \time (uv^2 - u^2v))
Les racines sont donc normalement:
^2 - 4 \time (v - u) \time (uv^2 - u^2v)}}{2(u^2 - v^2)})
^2 - 4 \time (v - u) \time (uv^2 - u^2v)}}{2(u^2 - v^2)})
Ceci dit, je pense pouvoir simplifier la fraction par 2, ce qui permet de - je pense- trouver une identité remarquable sous le radical!!!
:id: :id:
En fait, je m'inquiète un peu au sujet du discriminant, parce qu'on ne sait pas s'il est positif normalement, (ou nul).
On pose
1) Développons et réduisons S
Considérons le polynôme P donné par:
On calcule le discriminant
Les racines sont donc normalement:
Ceci dit, je pense pouvoir simplifier la fraction par 2, ce qui permet de - je pense- trouver une identité remarquable sous le radical!!!
:id: :id:
En fait, je m'inquiète un peu au sujet du discriminant, parce qu'on ne sait pas s'il est positif normalement, (ou nul).
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par Zweig » 10 Nov 2010, 19:30
Tu t'es trompé pour les dénominateurs, c'est 2(v-u).
Justement, on montre que le discriminant est toujours positif ... Pour ça, essaie de la factoriser ... ;-). Les racines vont donc drôlement se simplifier (tu verras pourquoi) et du coup, les fractions vont disparaître pour laisser place à des racines très simples ...
Et remplace le "-b" des racines aussi.
Justement, on montre que le discriminant est toujours positif ... Pour ça, essaie de la factoriser ... ;-). Les racines vont donc drôlement se simplifier (tu verras pourquoi) et du coup, les fractions vont disparaître pour laisser place à des racines très simples ...
Et remplace le "-b" des racines aussi.
par Lostounet » 10 Nov 2010, 19:32
Je ne vois pas l'erreur? Qu'est-ce qui est v - u ?
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par Zweig » 10 Nov 2010, 19:33
Eh bien, dans la formule, c'est "2a" au dénominateur, ici le "a" c'est v-u
par Lostounet » 10 Nov 2010, 19:50
Ah oui, excuse-moi.
On a donc:
^2 - 4 \time (v - u) \time (uv^2 - u^2v)}}{2(u - v)})
^2 - 4 \time (v - u) \time (uv^2 - u^2v)}}{2(u - v)})
Si on joue avec la première, je pense qu'on obtient:
^2(u - v)^2 - (v - u) \time (uv^2 - u^2v)}}{2(u - v)})
(u + v)(u + v + uv)}}{2(u - v)})
(v - u) - \sqrt{(u - v)(u + v)(u + v + uv)}}{(u - v)})
C'est juste?
Je sais pas..
On a donc:
Si on joue avec la première, je pense qu'on obtient:
C'est juste?
Je sais pas..
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par Zweig » 10 Nov 2010, 19:54
Oulà, j'ai pas trop compris tes enchaînements ...
Mais, on va travailler sur le^2 - 4(v-u)(u^2v-uv^2))
dans un premier moment. Le reste en découlera.
Remarque)
et là tu devrais voir un facteur commun apparaître. En fait, on montre que 
s'exprime comme un produit de 2 carrés.
Mais, on va travailler sur le
Remarque
Désolé..!
par Lostounet » 12 Nov 2010, 17:32
Salut Zweig, excuse-moi j'ai du partir ; j'avais énormément de devoirs. Mais maintenant qu'on est en week-end, je peux m'y pencher davantage.
Alors l'on a:
^2 - 4(v-u) * uv(u - v))
(u - v)(u + v)(u - v) + 4(u - v) * uv(u - v))
^2 [(u + v)^2 + 4uv])
J'ai l'impression que j'ai une erreur de signe quelque part parce qu'avec un -4uv ça peut marcher..
Zweig a écrit:Oulà, j'ai pas trop compris tes enchaînements ...
Mais, on va travailler sur le
Remarque
Alors l'on a:
J'ai l'impression que j'ai une erreur de signe quelque part parce qu'avec un -4uv ça peut marcher..
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par Lostounet » 13 Nov 2010, 12:59
Pas de problème, je reprends.
(u + v) - 4(v - u)(uv^2 - vu^2))
(u + v)]^2 - 4(v - u)(uv (v - u)))
(u + v)(u - v)(u + v) - 4uv(v - u)(v - u))
(u + v)(u - v)(u + v) + 4uv(u - v)(v - u))
En jouant encore un peu du coté du + 4uv, on peut fabriquer:
(u + v)(u - v)(u + v) - 4uv(u - v)(u - v))
Prenant (u - v)^2 en facteur, on obtient:
^2 [ (u + v)^2 - 4uv])
En jonglant avec les identités dans les parenthèses, on trouve:
^2 [u^2 + 2uv + v^2 - 4uv])
Soit:
^2 [u^2 -2uv + v^2])
Ou tout simplement:
^2 (u - v)^2)
^4)
Alors Delta est strictement positif!!! :zen:
C'est juste?
En jouant encore un peu du coté du + 4uv, on peut fabriquer:
Prenant (u - v)^2 en facteur, on obtient:
En jonglant avec les identités dans les parenthèses, on trouve:
Soit:
Ou tout simplement:
Alors Delta est strictement positif!!! :zen:
C'est juste?
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par Zweig » 13 Nov 2010, 14:25
C'est juste, maintenant déduis les racines puis vois le lien entre ce polynôme et notre exercice, puis tu dois pouvoir finir sans mon aide 
Après il reste le deuxième exercice qui se corse un peu ... La grosse astuce est de considérer le polynôme = X^3 -(x+y+z)X^2 + (xy+xz+yz)X - xyz)
. Après ... débrouille-toi :lol3:
Après il reste le deuxième exercice qui se corse un peu ... La grosse astuce est de considérer le polynôme
par Lostounet » 13 Nov 2010, 14:53
Zweig a écrit:C'est juste, maintenant déduis les racines puis vois le lien entre ce polynôme et notre exercice, puis tu dois pouvoir finir sans mon aide
Après il reste le deuxième exercice qui se corse un peu ... La grosse astuce est de considérer le polynôme
Alors pour les racines de notre polynôme:
Les deux racines sont donc v et u!?
Ensuite, on peut identifier pour former un polynôme de variable a.
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par Zweig » 13 Nov 2010, 14:59
Oui les deux racines sont u et v ... ;-)
Et donc, après comment on fait pour factoriser notre polynôme obtenu en développant les cubes ?
Et donc, après comment on fait pour factoriser notre polynôme obtenu en développant les cubes ?
par Lostounet » 13 Nov 2010, 15:18
Zweig a écrit:Oui les deux racines sont u et v ...
Et donc, après comment on fait pour factoriser notre polynôme obtenu en développant les cubes ?
Je commence par le comprimer:
Et on retrouve un polynôme de la forme la forme avec laquelle on a travaillé.
Ensuite.. je suis un peu perdu.. Parce que (a - 3b)(a - 3c)..
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par Lostounet » 13 Nov 2010, 15:20
On doit remarquer que 3b² = u² ? Merci de m'aider :)
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par Zweig » 13 Nov 2010, 15:34
Eh bien tu vois que tu peux mettre "3" en facteur partout, donc tu polynôme a un coefficient en a^2 égal à c-b, tu obtiens la factorisation * 3 ;)
par Lostounet » 13 Nov 2010, 18:43
Lostounet a écrit:Je commence par le comprimer:
Et on retrouve un polynôme de la forme la forme avec laquelle on a travaillé.
Ensuite.. je suis un peu perdu.. Parce que (a - 3b)(a - 3c)..
Ouais!
Ensuite pour le truc entre parenthèse, on peut le factoriser par (a - u)(a - v) avec u = c et v = b
3(a - c)(a - b)...?
Il y a un truc qui manque..
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par Olympus » 13 Nov 2010, 19:06
Salut !
Tu as oublié le coefficient de
.
Rappel, si
et 
sont les deux racines du polynôme 
défini par =ax^2+bx+c)
, alors =a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right))
.
Tu as oublié le coefficient de
Rappel, si
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