N&C Explication d'une infinité pèriodique

[mellesamia]

Bonjour,

J'essaie de répondre à la question suivante :

Pourquoi l'écriture à l'aide d'une virgule d'un nombre rationnel non décimal comporte-t-elle une infinité pèriodique de chiffres ?

La correction m'indique que : "soit un nombre rationnel non décimal a/b. Dans la division euclidienne de a par b, le reste r est strictement inférieur au diviseur b. Ce reste ne peut donc prendre qu'un nombre fini de valeurs, à savoir b-1 valeurs (les nombres entiers de 1 à b-1). Ce qui fait que nécessairement, au bout de b-1 calculs au plus, on retrouve un des restes déjà obtenus, ce qui définit la période.

Afin de comprendre, j'ai posé la division 47/3, en effet le reste 2 est strictement inférieur au diviseur 3 donc je me dis que l'infinité périodique est 66

J'ai ensuite posé 7/3, le reste est 1 donc je me dis que l'infinité périodique est 3

Mais quand je pose 17/7, le reste de la division est 3 alors que 17/7=2,4285714285714.... soit l'infinité périodique est 428571 soit 6 caractères, alors cela ne fonctionne plus.


Auriez-vous une explication plus évidente ?

Merci de votre aide.
Samia

[pascal16]

Ce reste ne peut donc prendre qu'un nombre fini de valeurs, à savoir b-1 valeurs (les nombres entiers de 1 à b-1).

en fait b valeurs de 0 à b-1 dans le cas général, mais ici la division ne tombe pas juste, 0 comme reste n'est pas reçevable

Ce qui fait que nécessairement, au bout de b-1 calculs au plus, on retrouve un des restes déjà obtenus, ce qui définit la période.... je pose 17/7....

b=7, il y a au plus 6 restes possible, donc au plus la période est de 6 chiffres (elle peut être plus courte mais pas plus longue)

[Ben314]

Salut,
Ben le problème, c'est... d'apprendre à lire...

Soit un nombre rationnel non décimal a/b. Dans la division euclidienne de a par b, le reste r est strictement inférieur au diviseur b. Ce reste ne peut donc prendre qu'un nombre fini de valeurs, à savoir b-1 valeurs (les nombres entiers de 1 à b-1). Ce qui fait que nécessairement, au bout de b-1 calculs au plus, on retrouve un des restes déjà obtenus, ce qui définit la période.

Dans cette correction, il n'y a absolument rien qui te dit que "le reste obtenu", c'est la longueur de la période. Ce qu'on te dit, c'est que comme des restes possibles, il n'y en a qu'un nombre fini, on va retomber à un moment ou un autre sur un reste déjà obtenu et qu'à partir de ce moment là, on va refaire exactement les mêmes calculs donc les décimales ont être les mêmes.

Donc par exemple, là

Mais quand je pose 17/7, le reste de la division est 3 alors que 17/7=2,4285714285714.... soit l'infinité périodique est 428571 soit 6 caractères, alors cela ne fonctionne plus.

Ben si ça fonctionne, mais si tu calcule un et un seul reste, je vois pas trop comment tu peut savoir à quel moment on va tomber sur un reste déjà obtenu.
Si tu prend 17/7, la division donne :
17 / 7 -> il y va 2 fois et il reste 3 (pour le moment 17 / 7 = 2,....)
3x10=30 ; 30 / 7 -> il y va 4 fois et il reste 2 (pour le moment 17 / 7 = 2,4....)
2x10=20 ; 20 / 7 -> il y va 2 fois et il reste 6 (pour le moment 17 / 7 = 2,42....)
6x10=60 ; 60 / 7 -> il y va 8 fois et il reste 4 (pour le moment 17 / 7 = 2,428....)
4x10=40 ; 40 / 7 -> il y va 5 fois et il reste 5 (pour le moment 17 / 7 = 2,4285....)
5x10=50 ; 50 / 7 -> il y va 7 fois et il reste 1 (pour le moment 17 / 7 = 2,42857....)
1x10=10 ; 10 / 7 -> il y va 1 fois et il reste 3 (pour le moment 17 / 7 = 2,428571....)
Et là, c'est pas la peine d'aller plus loin : un reste égal à 3 on en a déjà obtenu un au début (en rouge) donc à partir de ce moment là, ben on va répéter exactement les mêmes calculs, c'est à dire :
3x10=30 ; 30 / 7 -> il y va 4 fois et il reste 2 (pour le moment 17 / 7 = 2,4285714....)
2x10=20 ; 20 / 7 -> il y va 2 fois et il reste 6 (pour le moment 17 / 7 = 2,42857142....)
6x10=60 ; 60 / 7 -> il y va 8 fois et il reste 4 (pour le moment 17 / 7 = 2,428571428....)
4x10=40 ; 40 / 7 -> il y va 5 fois et il reste 5 (pour le moment 17 / 7 = 2,4285714285....)
etc...

[mellesamia]

Merci beaucoup Ben314, en effet quand on a compris une fois, on se demande comment on a pu, à un moment ne pas comprendre !

Ceci dit, ce n'est pas parce que je bloque très souvent en maths que j'estime ne pas savoir lire.
Aidons nous en restant agréable

Bien à vous.