Exo sur les racines carrées

[Etrexia]

Bonjour, voilà je sollicite votre aide pour un exercice sur les racines carées.

Enoncé:
a = racine de 181+52racine de 3
et b= racine de 181-52racine de 3

Calculer a² et b² puis ab (on demande des valeurs exactes simplifiées).

Je n'ai pas compris la partie en gras soulignée. Cela signifie qu'il faut laisser sous forme de racine carrée ou alors que je peux mettre des nombres décimaux ?

car je trouve a²=181+52racine de 3
ou a²=271,066642

Je remercie d'avance les courageux qui auront la gentillesse de m'aider!

[bombastus]

Bonjour,

Calculer a² et b² puis ab (on demande des valeurs exactes simplifiées).

Je n'ai pas compris la partie en gras soulignée. Cela signifie qu'il faut laisser sous forme de racine carrée ou alors que je peux mettre des nombres décimaux ?

On te demande des valeurs exactes donc si ton résultat contient des racines non simplifiables, il faut les laisser (sinon tu fais obligatoirement une approximation).

Maintenant pour le calcul de a², tu t'es trompé :

et là, tu dois utiliser les identités remarquables pour développer. à toi de continuer.

[Etrexia]

Je ne comprend pas car pour la valeur de a; la 1ère racine est sur toute l'addition.

[bombastus]

Je ne comprend pas car pour la valeur de a; la 1ère racine est sur toute l'addition.

Ah ok, désolé, je ne pouvais pas le deviner! (d'ou l'utilité des parenthèse) :
a = racine de(181+52racine de 3)

donc d'accord, le résultat est bien :
a²=181+52racine de 3

[Etrexia]

Désolé de l'erreur. D'accord merci beaucoup ;)
Pour le produit de a par b je sèche également. Dois-je utiliser une règle en particulier? car quand j'utilise la distributivité j'obtiens ab=racine de 31948.99578, ce qui n'est donc pas une valeur exacte.

[bombastus]

Pour b c'est la même chose pour la racine? elle englobe toute l'expression comme ceci :

?
ou bien elle s'écrit comme ceci :

?

[Etrexia]

Non, c'est bien la même chose. La racine englobe toute l'expression ;).

[bombastus]

Peux-tu détailler comment tu as fait ta distributivité?

(et si tu obtiens une valeur décimale, c'est que tu as calculé une racine carré avec la calculatrice : il ne faut pas que les calculs que tu fais sur ta calculatrice fasse intervenir des racines!)

[Etrexia]

J'ai fait :

ab = racine de (181 + 52 racine de (3)) x racine de (181 - 52 racine de (3))
ab = racine de (181x181 - 181x52 racine de(3) + 52 racine de (3)x181 - 52 racine de (3)x racine de (3))


Mais j'ai calculer les racines avec ma calculette.

[bombastus]

J'ai fait :

ab = racine de (181 + 52 racine de (3)) x racine de (181 - 52 racine de (3))
ab = racine de (181x181 - 181x52 racine de(3) + 52 racine de (3)x181 - 52 racine de (3)x racine de (3))

C'est correct, maintenant il faut simplifier, sans calculer les racines : tu remplaces juste 181x181, 181x52, etc... et tu essaies de simplifier.

[Etrexia]

D'accord merci. J'ai donc trouvé:

ab = racine de (181 + 52 racine de (3)) x racine de (181 - 52 racine de (3))
ab = racine de (181x181 - 181x52 racine de(3) + 52 racine de (3)x181 - 52 racine de (3)x racine de (3))
ab = racine de (32 761 + 9 412 racine de (3) - 9 412 racine de (3) - 8 112)
ab = racine de (30 057 + (9 412-9 412) racine de(3))
ab = racine de (30 057 + 0 racine de (3))
ab = 157

Je pense que ce dernier résultat est juste. En tout cas merci beaucoup de votre aide et de votre patience ;D

[Noemi]

Bonjour,

Attention,
32761 - 8112 = 24649 et non 30057

Par contre le résultat ab = 157 est juste.

[benoit16]

Bonjour
Je crois que tu t'es trompé en distribuant .

ab = racine de (181x181 - 181x52 racine de(3) + 52 racine de (3)x181 - 52 racine de (3)x ICI racine de (3))

[Etrexia]

Effectivement, merci!

[Etrexia]

Je re-sollicite votre aide pour la fin de l'exercice que je ne comprend pas très bien.

On a toujours:
a = racine de (181 + 52 racine de (3))
b = racine de (181 - 52 racine de (3))

On a aussi:
(a+b)² = 676
et a + b = racine de ((a+b)²) = racine de (676) = 26

On demande de développer (13 + 2 racine de (3))² et de déduire une écriture simplifiée de a.
La même chose pour b sauf avec l'expression (13 - 2 racine de (3))²

J'ai donc trouvé:

pour a:
(13 + 2 racine de (3))² = 181+52racine de (3)
donc a = racine de [(13+2 racine de (3))²]

pour b:
(13 - 2 racine de (3))² = 181-52racine de (3)
donc b = racine de [(13-2 racine de (3))²]

on me dit retrouver grâce aux deux résultats précédents la valeur exacte de a+b obtenue précédemment, soit ici 26.

Puis-je additionner les deux résultats et utiliser une identité remarquable?

[Ben314]

a = racine de [(13+2 racine de (3))²]
b = racine de [(13-2 racine de (3))²]

arrivé à ce point, peut être devrait tu utiliser le fait que, si X est un réel positif, la racine de X² vaut tout simplement...

[Etrexia]

Excusez-moi, je ne connait pas cette règle, je ne suis qu'en 3ème.

[Ben314]

Je pense que, même en troisième, tu doit connaitre cette règle !!!
Peut tu (sans calculatrice) me dire combien vaut ou ?
Attention par contre à la valeur de ...

[Etrexia]

Ah! Cette règle là! Bien sûr! Donc:

a = racine de [(13+2 racine de (3))²] = 13+2 racine de (3)
b = racine de [(13-2 racine de (3))²] = 13-2 racine de (3)

[13+2 racine de (3)] + [13-2 racine de (3)]
= 13+2 racine de (3) + 13 - 2 racine de (3)
= 26

Merci !

[Ben314]

Fait bien attention que, pour justifier cette régle, il faut vérifier que le nombre "de départ" est bien positif :
mais

Donc ici, quand tu écrit
"a = racine de [(13+2 racine de (3))²] = 13+2 racine de (3)" ,
il faut rajouter
"car 13+2 racine de (3) est positif" (ce qui est complètement évident !!!)

Idem pour le b=... où c'est un peu moins évident que le chiffre de départ est positif.