Exercice

[UGO]

bonjour à tous merci pour votre aide

1- le but du jeu

Les cosinus sinus et tangentes des angles 60° 30° et 45° peuvent s’écrire sous forme d’une valeur exacte. Nous allons tout simplement essayer de trouver ces valeurs.

II- L’angle de 60°

Soit un triangle ABH rectangle en H tel que ^ ABH= 60° On notera a la distance AB

1°/ Soit I le milieu de [AB]

a) Démontrer que BIH est un triangle équilatéral
b) Exprimer BH en fonction de a
c) En déduire que cos (60°) = 1 /2

2°/ a)Montrer que AH= 3 a
2
b) En déduire une valeur exacte de sin (60°)

3° / Donner la valeur exacte de tan (60°)

III- l’angle 30°

Soit un triangle MNP rectangle en N tel que ^ MPN=30°

1°) calculer l angle PMN
2°) démontrer les trois égalités suivantes

a) Cos (30°)= sin (60°)
b) Sin (30°) =cos (60°)
c) Tan (30°)= 1 / tan (60°)

3°) En déduire en utilisant les résultats de la partie II les valeurs exactes de cos (30°) Sin (30°) et Tan (30°)

IV) soit ABC un triangle rectangle en A tel que ^ABC =45°

1-Montrer que AC=a
2 Exprimer BC en fonction de a
3-en déduire les valeurs exactes de cos 45° sin 45° ET tan 45°

V) placer ces 9 résultats dans ce tableau
COS SIN TAN
30°
45°
60°

[fonfon]

Salut, tu as fais quelque chose?

[yvelines78]

bonjour,

1)
a-le triangle ABH est rect en H,
I est le lilieu de [AB] , AI=IB=a/2 et (AI) est la médiane issue de l'angle droit d' un triangle rectangle, donc AI=AB/2=a/2
le triangle IBH a deux côtés =, c'est un triangle isocèle
Dans un triangle isocèle les angles à la base sont =, IHB=IBH=60°
HIB=180°-(60*2)=60°
le triangle IBH est équilatéral

b-ABH rectangle en H :
cosABH=HB/AB

c-cos60°=(a/2)/a=1/2

2)ABH ret en H, d'après Pythagore :
AB²=AH²+HB²
AH²=AB²-HB²
AH²=a²-(a/2)²=a²-a²/4=3a²/4
AH>0, AH=V(3a²/4)=a/2*V3

sin ABH=sin 60°=AH/AB=[a/2*V3]/a=aV3/2a=V3/2

3) tan 60°=sin60°/cos60=(V3/2)/(1/2)=V3


exo 2 :
1)dans un triangle rectangle, les 2 angles aigus sont complémentaires
PMN=90°-30°=60°
2) quand 2 angles sont complémentaires, alpha +bêta=90°, alors
cos alpha = sin bêta, cos30°=sin60°=V3/2=1/V3=V3/3
sin alpha = cos bêta, sin 30°= cos 60°=1/2
tan alpha=1/tan bêta, tan 30°=1/tan 60°

si tu ne connais par cette propriété :
cos PMN=co s60°=MN/MP
sin MPN=sin 30°=MN/MP
cos 60°= sin 30°

sin PMN=sin 60°=NP/MP
cos MPN= cos 30°=NP/MP
sin 60°=cos 30°

tan PMN=tan 60°=NP/MN
tan MPN=tan 30°=MN/NP
tan 60°=1/tan 30°

exo 3 :
1)ABC triangle ret en A, AB=a
ABC et BCa complémentaires, ABC=45°
ABC triangle dont les angles à la base sont =, donc il est isocèle, AB=AC=a

2)d'après pythagore :
BC²=AB²+AC²
BC²=a²+a²=2a²
BC>0, BC=aV2
cos ABC=cos 45°=AB/BC=a/aV2=1/V2=V2/2

cosACB=cos 45°=AC/BC=a/aV2=1/V2=V2/2

tan 45°=sin 45°/cos 45°=(V2/2)/(V2/2)=1