Exercice difficile

[chaa13]

Bonjour,
Je suis a la recherche un exercice vraiment difficile ou il faut vraiment se creuser les neurones pour trouver la solution, je suis niveau 3eme mais j'aimerais m'exercer sur les somme avec sigma ,les fonctions un peux plus avancer ,les suite géométrique du style Un = Uo * q^n.
Je ne sais pas si ce genre d'exercice se trouve ?

Merci d'avance !!!!!!!
Cordialement Charles.

[Dinozzo13]

Salut !

Pourquoi pas.
:we:

Commençons par une base. Calculer

[chaa13]

Pour faire plus simple tu peux donner une valeur a n ?

Merci d'avance
Ou sinon 1 + 2 + 3 + 4 ... + n

PS : en fait ce que je demande la ça regroupe un peut les questions que j'ai été posé sur le forum

[Dinozzo13]

Salut !

Ben que vaut ?

[globule rouge]

Bonsoir Charles !

Bon, aujourd'hui tu vas être initié au raisonnement par récurrence ! Le programme de TS le place dans la même partie que les suites numériques, car il se montre particulièrement efficace et redoutable afin de démontrer beaucoup de propriétés liées à certaines suites.

Qu'est-ce que c'est ?

Intro
Montrer que


Bon, nous connaissons déjà l'issue, et c'est cela qui va faciliter le travail.

En gros, le raisonnement par récurrence tient en deux parties et se base sur un axiome arithmétique.
"L'ensemble des entiers naturels est construit par récurrence (note bien l'expression ) comme ceci :
1) l'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.
2) Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n), tel que s(n)=n+1
3) Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4) Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à (ensemble des entiers naturels)."

(wikipedia)

Ce à quoi je voulais en venir, c'est que certaines propriétés s'appuient principalement sur les nombres entiers.
C'est pour cela que dans la première partie de la démonstration, on s'intéresse tout d'abord à montrer que la propriété est vraie pour un rang n (entier) initial (souvent 0).
Il nous faudra ensuite démontrer que celle-ci est vraie pour un rang n+1 si elle est vraie pour un certain rang n.
On fournit donc l'hypothèse que la propriété est vraie (on ne sait pas encore si oui ou non, on ne fait que supposer) au rang n. On montre par la suite que la propriété est vraie au rang n+1 grâce à des calculs algébriques.
Cette seconde phase, que l'on nomme "Hérédité" permet de montrer que la propriété est vraie pour tout n car si elle est vraie au rang initial, et si elle est aussi vraie au rang suivant, cela provoque un effet domino ("Mon premier cheveu est blanc, or je sais que si un cheveu est blanc, le suivant sera aussi blanc. je peux donc dire que j'ai la tête blanche ^^")

Voilà ce sur quoi se base ce raisonnement.
Pour me montrer un peu plus claire, voilà la solution de l'exercice proposé en intro :

Initialisation : On sait que et que donc la propriété est vraie au rang n=0 (pas vraiment surprenant mais on se contentera de ceci).

Hérédité : Supposons que pour un certain n de , nous avons .
Montrons qu'au rang supérieur, nous avons (nous avons ici remplacé n par n+1, et cela doit normalement être vrai).
Or on sait que . Or si on applique l'hypothèse de récurrence, (car on factorise par n+1).
On retrouve bien ce sur quoi on devait tomber !
L'hérédité est donc vérifiée et notre propriété est donc vraie pour tout n des entiers naturels car elle est vraie au rang 0 et qu'elle est héréditaire.


Maintenant, à toi de t'entrainer !

I) Montre que
II) Montre que
III) Montre que

Julie

[Dinozzo13]

Bonsoir Charles !

Bon, aujourd'hui tu vas être initié au raisonnement par récurrence ! Le programme de TS le place dans la même partie que les suites numériques, car il se montre particulièrement efficace et redoutable afin de démontrer beaucoup de propriétés liées à certaines suites.

Qu'est-ce que c'est ?

Intro
Montrer que


Bon, nous connaissons déjà l'issue, et c'est cela qui va faciliter le travail.

En gros, le raisonnement par récurrence tient en deux parties et se base sur un axiome arithmétique.
"L'ensemble des entiers naturels est construit par récurrence (note bien l'expression ) comme ceci :
1) l'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.
2) Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n), tel que s(n)=n+1
3) Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4) Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à (ensemble des entiers naturels)."

(wikipedia)

Ce à quoi je voulais en venir, c'est que certaines propriétés s'appuient principalement sur les nombres entiers.
C'est pour cela que dans la première partie de la démonstration, on s'intéresse tout d'abord à montrer que la propriété est vraie pour un rang n (entier) initial (souvent 0).
Il nous faudra ensuite démontrer que celle-ci est vraie pour un rang n+1 si elle est vraie pour un certain rang n.
On fournit donc l'hypothèse que la propriété est vraie (on ne sait pas encore si oui ou non, on ne fait que supposer) au rang n. On montre par la suite que la propriété est vraie au rang n+1 grâce à des calculs algébriques.
Cette seconde phase, que l'on nomme "Hérédité" permet de montrer que la propriété est vraie pour tout n car si elle est vraie au rang initial, et si elle est aussi vraie au rang suivant, cela provoque un effet domino ("Mon premier cheveu est blanc, or je sais que si un cheveu est blanc, le suivant sera aussi blanc. je peux donc dire que j'ai la tête blanche ^^")

Voilà ce sur quoi se base ce raisonnement.
Pour me montrer un peu plus claire, voilà la solution de l'exercice proposé en intro :

Initialisation : On sait que et que donc la propriété est vraie au rang n=0 (pas vraiment surprenant mais on se contentera de ceci).

Hérédité : Supposons que pour un certain n de , nous avons .
Montrons qu'au rang supérieur, nous avons (nous avons ici remplacé n par n+1, et cela doit normalement être vrai).
Or on sait que . Or si on applique l'hypothèse de récurrence, (car on factorise par n+1).
On retrouve bien ce sur quoi on devait tomber !
L'hérédité est donc vérifiée et notre propriété est donc vraie pour tout n des entiers naturels car elle est vraie au rang 0 et qu'elle est héréditaire.


Maintenant, à toi de t'entrainer !

I) Montre que
II) Montre que
III) Montre que

Julie

Wow : c'est l'overdose :ptdr:

[globule rouge]

Mais heeuu !! Il aura au moins de la bonne lecture pour toute cette soirée ! :)


PS : désolée, je viens de m'apercevoir que mon message donne la réponse à ta somme ! Souhaites-tu que je l'enlève, Dino ? :)

[chaa13]

Waou merci beaucoup globule rouge je lis tout ça et je te fais pars de mes questions !
@Dinnozo13
Normalement cela donnerait : 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2012

[Dinozzo13]

Mais heeuu !! Il aura au moins de la bonne lecture pour toute cette soirée !


PS : désolée, je viens de m'apercevoir que mon message donne la réponse à ta somme ! Souhaites-tu que je l'enlève, Dino ?

Nam tkt :++:
T'a voulu introduire le concept de raisonnement par récurrence avec le premier exemple qui vient à l'esprit : je ne t'en veux pas ^^

Cela dit, c'est sûr : il aura de la lecture :+++:

[Dinozzo13]

Waou merci beaucoup globule rouge je lis tout ça et je te fais pars de mes questions !
@Dinnozo13
Normalement cela donnerait : 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2012

Et tu saurais calculer cette somme ?
Remarque que 1+2012=2013, 2+2011=..., 3+2010=... et ainsi de suite :+++:

[globule rouge]

Et puis il pourra toujours résoudre cette somme d'une autre manière plus élégante (celle que tu attends de lui !). Cela lui fera plus d'entrainement :lol4:

[Dinozzo13]

Sinon, si ca t'(vous) intéresse :

Que vaut ?

[globule rouge]

Ca vaut cette année

[Dinozzo13]

En effet !

[chaa13]

Pourquoi cela vaudra cette années ?

Et puis il pourra toujours résoudre cette somme d'une autre manière plus élégante (celle que tu attends de lui !). Cela lui fera plus d'entrainement

Tiens ça me rappels !
Connais tu l'histoire du petit Gauss quand il était gosse ?

Celle la je m'en souviendrais !

Donc cela fait 1006 + 1007 = 2013
1006 * 2013 = 2025078

Je prend tout le temps de lire et relire ton cours globule rouge par contre je pose mes question demain après le collège !

Bonne nuit !

[Dinozzo13]

Tiens ça me rappels !
Connais tu l'histoire du petit Gauss quand il était gosse ?

En effet :+++:

[chaa13]

Alors j'ai tout lu. Tout d'abord le calcul d'intro est OK par contre pour apres c'est un peux plus flou :
- Qu’appelle tu un successeur ?
-Quand tu met : . Que vient faire le 2 ça ne serait pas : ????

J'ai surtout compris le raisonnement de départ.

Merci d'avance !!!!!
Charles

[globule rouge]

Bonjour chaa

Tu as . Or là, on vient simplement factoriser par (n+1)

[chaa13]

Hey,
Merci j'avais pas fais le lien entre le le début et la fin.
Dans le terme général j'ai compris totalement la formule mais après pour les exercices ...

Merci d'avance !!!!!!
Charles

EDIT : Alors la !!! C'est un truc de ouf ... Non mais franchement j'ai vu cela y'a même pas 1 semaine sans savoir que c'etait du raisonnement par récurrence, javais taper sur google : en tapant "formule calcul somme arithmetique"
et j'avais vu que si je voulais calculer la somme d'une suite arithmetique je fais :
nombre de terme *
En outre cela donnerai pour Cela ferait 100 * = 5050

Et comme j'étais parti j'ai fais aussi pour les suite géométrique de style :
Il fallait faire : Premier terme *
Donc pour je fais : 3 * = 363 !

Alors par contre y'a un truc qui est horrible c'est pour : Il m'es impossible de le calculer j'ai tout essayer mais rien ne marche . Il n'y a même pas de raison ! Y'a t'il une solution pour le calculer ?

A oui ... j'ai juste une petite question, j'ai vu ça sur un site :

Et je vois que la suite commence par U1 ?!!!?? Normalement ça commence par U0 ,je me souvient dans ma suite : 1, 9, 27, 81 . U0 = 1 et U1 = 9 . Pourtant ici U1 = 1 et U2 = 4 !! Pourquoi ?

Merci d'avance !!!

[chaa13]

Une idée ?