Qu'est-ce que l'infini indénombrable remplaçable ?

[leon471]

Je regardais une vidéo sur la comparaison des nombres au-delà de l'infini. La vidéo arrive à l'infini dénombrable qui sont tous des nombres entiers, je suppose, puis à l'infini indénombrable qui, je suppose, sont tous des nombres réels (comme des décimales répétées à l'infini), puis il a dit quelque chose à propos de l'infini indénombrable remplaçable. Je ne peux même pas imaginer ce que cela pourrait être.

J'ai fait quelques recherches et je n'ai rien trouvé de plus qu'un ensemble indénombrable. Cet infini est représenté dans la vidéo par aleph omega. Toute information serait super, merci!

[hdci]

Bonjour,
Précisions : un ensemble est "dénombrable" quand il existe une bijection entre cet ensemble et l'ensemble des entiers naturels (bijection, c'est-à-dire une fonction telle que tout élément de l'ensemble d'arriver admet un et un seul antécédent) : cela revient à "numéroter" les éléments avec les entiers, ou encore les "ranger" dans un ordre sans en oublier aucun, chaque position étant un entier.
Ainsi, Z (ensemble des entiers relatifs) est dénombrable : en effet, on peut ranger les entiers relatifs dans cet ordre :
0 ; -1 ; 1 ; -2 ; 2 ; -3 ; 3 ; etc.
on "voit" bien ici que tous les entiers relatifs auront une position, et qu'à chaque position il y aura un entier relatif (à la position n, si n est impair il contiendra le nombre et si n est pair il contient l'entier

On montre de même que Q, l'ensemble des rationnels, est dénombrable.

Georg Cantor a démontré (fin du XIXème siècle / début du XXème siècle) que R n'était pas dénombrable : on ne peut pas ranger l'ensemble des nombres réels "dans un ordre particulier sans en oublier aucun".

Cela a donné l'idée d'explorer les différents infinis, et la théorie des ordinaux permet de construire cela : sans entrer dans les détails, on définit des ordinaux, tous les ordinaux finis sont les entiers, le premier ordinal infini est l'ensemble des entiers naturels ; l'ordinal suivant est l'ensemble des entiers naturels auquel on ajoute un élément ; etc. L'ordinal correspondant à l'ensemble des entiers naturels est noté
On appelle alors "premier infini indénombrable" le premier (plus petit) ordinal qui n'est pas en bijection avec : on le note ("aleph 1")
En continuant la construction (en ajoutant des éléments...) on aboutit au plus petit ordinal qui n'est pas en bijection avec et on le note
Et ainsi de suite.
est ainsi l'ordinal que l'on atteint après avoir épuisé les , , etc.

Ces différents aleph se nomment également "cardinal" : le cardinal d'un ordinal est ainsi le plus petit ordinal avec lequel il est en bijection (c'est lui-même lorsque l'ordinal est fini - c'à-d. un entier naturel).

Apparemment, c'est cela que ta vidéo appelle "indénombrable remplaçable", mais je ne connaissais pas cette définition.

Remarque : Le cardinal de R est-il ? Cette proposition est indécidable, c'est-à-dire non démontrable : on peut en fait consrtuire une théorie en l'admettant pour VRAIE, ou une autre théorie en l'admettant pour FAUSSE ; ce qui en fait finalement un axiome, qu'on appelle "axiome du continu".