Entiers impairs consécutifs premiers

[whitegirl]

Bonsoir,

J'ai un petit problème de démonstration : Comment démontrer que à part 3, 5, 7 il n'existe pas d'autre suite de trois nombres premiers impairs consécutifs ?

J'étais partie sur l'idée que l'un des 3 était forcément un multiple de 3 mais je ne sais pas le démontrer...

Merci d'avance

[rene38]

Bonsoir

Supposons qu'existent trois nombres premiers impairs consécutifs autres que 3, 5, 7 notés n, n+2 et n+4.

Alors n n'est pas multiple de 3 et donc c'est (un multiple de 3)+1 ou +2 :

- soit il existe un naturel k tel que n=3k+1 donc n+2=3k+1+2=3k+3=3(k+1)
et donc n+2 est multiple de 3 donc non premier

- soit il existe un naturel k tel que n=3k+2 donc n+4=3k+2+4=3k+6=3(k+2)
et donc n+4 est multiple de 3 donc non premier

Dans tous les cas, on arrive à une conclusion contraire à l'hypothèse ; cette dernière est donc fausse :
Il n'existe pas trois nombres premiers impairs consécutifs autres que 3, 5, 7

[whitegirl]

Merci beaucoup !