Devoir Nombre D'or

[Suigetsu]

Bonjour,



voici les différents énnoncés


1ère Partie:
Le nombre d'or est le nombre irrationnel noté par la lette grecque tel que
Donner une valeur approchée à 10 puissance -6 du nombre d'or.



2éme Partie:


1)a. Construis un carré ADNM de côté 1 dm. On appelle O le milieu du segment [DN].
Trace le cercle de centre O, de rayon [OA]. Ce cercle coupe la demi-droite [DN) en C.
Construis le rectangle NCBM.

2)b. Calcule la valeur exacte de OM, puis démontre que:

AB=DC=


REMARQUE: le rectangle ABCD est appellé rectangle d'or car la proportion entre sa longueur et sa largeur est égale au nombre d'or.


3ème Partie:


Montre que le nombre d'or est solution de l'équation x²-x-1 = 0


_________________________________________________________________________

et voici mes réponses



1) une valeur approchée du nombre d'or à 10 puissance -6 est 1.618034

[B]2)a.



On a un triangle MNO rectangle en N tel que ON= 1/2 dm et MN=1 dm
Donc d'après le théorème de Pythagore on a:
MO² = MN² + ON²
MO² = 1² + (1/2)²
MO² = 1 + 1/4
MO² = 1.25

Or 1.25 = 5/4 d'où

MO = V(5/4)
MO = V5/2

Donc OM = V5/2

b. On a un carré ADNM de côté 1 dm tel que O est le milieu de [DN] avec OM= V5/2 dm ainsi que le cercle de centre O et de rayon [OA] qui coupe [DN) en C. De plus on a le rectangle MNCB.

Donc

DC = DO + OC
DC = 1/2 + V5/2
DC = (1 + V5)/2


ADCB est un quadrilatère tels que les angles A, D, C, B sont droits.
Or un quadrilatère ayant au moins un angle droit est un rectangle.
Donc ADCB est un rectangle .

Or si un quadrilatère est un rectangle alors c'est un parallélogramme
Donc ADCB est un parallélogramme

Or un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur donc
AB = DC = (1+V5)/2


3) x² - x - 1 = 0

(1+;)5)²/2² - (1+;)5) - 1 = 0
(1²+2×1×;)5+;)5)/4 - 2(1+;)5)/4 - 4/4 = 0
(1+2;)5+5-2-2;)5-4)/4 = 0
0/4 = 0
0 = 0

Donc le nombre d'or est bien solution de l'équation x² - x - 1 = 0[/B]






voila j'aimerais avoir vos avis et une éventuelle correction. merci


et pour le 2) b. j'ai refait une démonstration qui me parait meilleure. la voici:

On a un carré ADNM avec B un point de [AM) tel que B n'appartient pas à [AM] et C un point de [DN) tel que C n'appartient pas à [DN].
Donc A,M,B sont alignès et D,N,C sont également alignès

ADNM est un carré.
Or si un quadrilatère est un carré alors c’est un parallélogramme.
Donc ADNM est un parallélogramme.

Or un parallélogramme a ses cotes opposés de même longueur.
Donc AM = DN

MNCB est un rectangle.
Or si un quadrilatère est un rectangle alors c’est un parallélogramme.
Donc MNCB est un parallélogramme.

Or un parallélogramme a ses cotes opposés de même longueur.
Donc NC = MB

Ainsi AM = DN et NC = MB donc, puisque A,M,B sont alignès et D,N,C sont également alignès, AB=AM+MB=DN+NC=DC
Or DC = (1+V5)/2 donc AM=DC= (1+V5)/2

[Suigetsu]

serait-il possible de me répondre

[sylvain.s]

serait-il possible de me répondre

Ca l'air correct :lol3:

Pour cette partie :
ADCB est un quadrilatère tels que les angles A, D, C, B sont droits.
Or un quadrilatère ayant au moins un angle droit est un rectangle.
Donc ADCB est un rectangle .

Or si un quadrilatère est un rectangle alors c'est un parallélogramme
Donc ADCB est un parallélogramme

Or un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur donc

Je crois que tu te prend trop la tête, tu dis que ADCB est un carré, MNCB un rectangle, donc le tout un rectangle donc AB = DC.
Pas obligé de reciter tout ton cours

[sylvain.s]

(1+;)5)²/2² - (1+;)5) - 1 = 0
(1²+2×1×;)5+;)5)/4 - 2(1+;)5)/4 - 4/4 = 0
(1+2;)5+5-2-2;)5-4)/4 = 0
0/4 = 0
0 = 0


Cela par contre est une grosse erreur de rédaction, tu pars du principe que [I](1+;)5)²/2² - (1+;)5) - 1 = 0 dés le début alors qu'on ne le sait pas encore, on te demande de le démontrer ^^

il faut rédiger comme ceci :

(1+;)5)²/2² - (1+;)5) - 1 =(1²+2×1×;)5+;)5)/4 - 2(1+;)5)/4 - 4/4
=(1+2;)5+5-2-2;)5-4)/4
=0/4
=0

Donc 1+;)5 est bien la solution de l'équation x²-x-1=0

[sylvain.s]

Désolé pour le retard au faite ;)

[Suigetsu]

pas grave pour le retard tu m'as bien aidé c'est déja ça. donc merci pour l'équation mais pour la démonstration notre professeur nous demande d'écrire constament les propriétés or je n'en connais aucunes disant que si un carré et un rectangle ont un coté commun alors le quadrilatère est un rectangle (du moins personnes ne m'en a enseigné une semblable) donc je fais un petit détours mais le résultat est le même. merci encore

[sylvain.s]

pas grave pour le retard tu m'as bien aidé c'est déja ça. donc merci pour l'équation mais pour la démonstration notre professeur nous demande d'écrire constament les propriétés or je n'en connais aucunes disant que si un carré et un rectangle ont un coté commun alors le quadrilatère est un rectangle (du moins personnes ne m'en a enseigné une semblable) donc je fais un petit détours mais le résultat est le même. merci encore

Ba y a pas de propriété qui dit ca, ca me paraît logique en faite

C'est bien comme ca vous apprenez mieux vos propriétés :lol3:

[Suigetsu]

bah donc j'ai pas trop le choix je dois faire comme ça nan ??

[sylvain.s]

bah donc j'ai pas trop le choix je dois faire comme ça nan ??

Oui c'est très bien comme ca