Devoir maison 3ème(Nombre entiers et rationnels)

[FIFI78]

Bjrs
J'ai un devoir de math à faire et depuis quelque temps j'essai de comprendre quelque chose mais je n'y arive pas.

L'irrationnalité de 2 au carré semble avoir été découverte par les pythagoriciens.La démonstration proposée ci-dessous est très voisine de celle d' Euclide dans son ouvrage intitulé Elements.
Raisonnon par l'absurde et supposons qu'il existe une fraction irréductible p/q telle que 2 au carré = p/q avec p et q entiers.

a)Expliquer pourquoi alors : p²=2q².
b)Le nombre 2q² est-il pair ou impair ? En déduire que p est pair
c)Posons p=2p'
Expliquez pourquoi : q² = 2p'².En déduire que q est pair.
d)On sait que p est pair et que p/q est irréductible.
En déduire que q est impair.
e)Où est la contradiction ?
Donc l'hypothèse rajoutée au début est fausse, c'est à dire : il n'existe pas de fraction irréductible égal à 2 au carré. Donc 2 au carré est un nombre irrationnel.

Voila l'énnoncer si quelqu'un pourai m'aidez sa serai gentil !
Merci

[chan79]

a)Expliquer pourquoi alors : p²=2q².

si p/q= rac(2) tu élèves au carré et tu trouves p²

b)Le nombre 2q² est-il pair ou impair ? En déduire que p est pair
c)Posons p=2p'
p²=2q² donc p² est pair
si p était impair (2k+1) son carré serait impair car (2k+1)²=4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1 serait impair donc p est pair

Expliquez pourquoi : q² = 2p'².En déduire que q est pair.

si p est pair alors p=2p' on remplace p dans l'égalité p²=2q² et on a
4p'=2q² donc q²=2p'
donc q² est pair et q aussi
d)On sait que p est pair et que p/q est irréductible.
En déduire que q est impair.
e)Où est la contradiction ?
Donc l'hypothèse rajoutée au début est fausse, c'est à dire : il n'existe pas de fraction irréductible égal à 2 au carré. Donc 2 au carré est un nombre irrationnel.

Voila l'énnoncer si quelqu'un pourai m'aidez sa serai gentil !
Merci[/quote]

[FIFI78]

Merci pour le a) j'ai trouver la meme chose mais pour le reste je n'avais pas trouver j'spère que sa va m aider merci beaucoup

Par contre je ne comprend pas d' ou le k vient ?

[chan79]

si un nombre p est impair, c'est qu'il se met sous la forme 2k+1, c'est à dire qu'il existe un k tel que p=2k+1 (exemple 17=2*8+1 là k=8)
si tu veux poursuivre envoie plutot un message privé, c'est dur de retrouver les posts
Bye

[chan79]

d)On sait que p est pair et que p/q est irréductible.
En déduire que q est impair.
si q était pair on pourrait simplifier p/q par 2 donc q est impair

e)Où est la contradiction ?

on a démontré que q était pair à la question c)
q ne peut pas être pair et impair à la fois d'où la contradiction

finalement rac(2) ne peut pas se mettre sous la forme a/b

Remarque: même en seconde, cette activité est difficile