Démonstration difficile svp aidez-moi.

par **ringard** » 22 Mai 2006, 19:35

Bonjour j'ai fait l'exercice mais j'ai un doute dans ma démonstration.

Enoncé:RST est un triangle équilatéral de 10 cm de côté. Calculer le rayon et le périmètre des cercles inscrit et circonscrit de ce triangle. ( on donnera un arrondi au dixième près)

Ma démonstration:

On sait que les cotés du triangle RST sont les tangentes du cercle inscrit. Donc les droites RC et TS sont perpendiculaires.
j'applique le T. de Pythagore:RS²=CS²+RC²..........RC= racine carré de 75
d'après la définition des droites remaquables dans un triangle équilatéral on sait que les droites R,S,et T sont des médianes.
Or d'après la propriété des médianes, ellles sont concourants en un point appelé centre de gravité. Donc puisque dans un triangle équi. le cenytre de G et le centre du cercle inscrit forme un seul et même point alors le rayon du cercle inscrit mesure 1/3 du segment RC.

Donc rayon du cercle inscrit: environ 2.89 à 0.1 près
et périmètre: 18.16 cm à 0.1 près

On sait donc aussi que le rayon du cercle circonscrit = 2/3 de RC.

Donc rayon du cercle circonscrit: 5.77 à0.1 près
et périmètre : 36.25 cm

par **ringard** » 22 Mai 2006, 19:42

ringard a écrit:Bonjour j'ai fait l'exercice mais j'ai un doute dans ma démonstration.

Enoncé:RST est un triangle équilatéral de 10 cm de côté. Calculer le rayon et le périmètre des cercles inscrit et circonscrit de ce triangle. ( on donnera un arrondi au dixième près)

Ma démonstration:

On sait que les cotés du triangle RST sont les tangentes du cercle inscrit. Donc les droites RC et TS sont perpendiculaires.
j'applique le T. de Pythagore:RS²=CS²+RC²..........RC= racine carré de 75
d'après la définition des droites remaquables dans un triangle équilatéral on sait que les droites R,S,et T sont des médianes.
Or d'après la propriété des médianes, ellles sont concourants en un point appelé centre de gravité. Donc puisque dans un triangle équi. le cenytre de G et le centre du cercle inscrit forme un seul et même point alors le rayon du cercle inscrit mesure 1/3 du segment RC.

Donc rayon du cercle inscrit: environ 2.89 à 0.1 près
et périmètre: 18.16 cm à 0.1 près

On sait donc aussi que le rayon du cercle circonscrit = 2/3 de RC.

Donc rayon du cercle circonscrit: 5.77 à0.1 près
et périmètre : 36.25 cm

Est-ce que c'est exact?

par **yvelines78** » 22 Mai 2006, 20:11

bonjour,

dans un triangle équilatéral, les hauteurs, les médianes les bissectrices et les médiatrices sont confondues, soit R' le point relatif à [TS] et S' le point relatif à [RT]
le point de concours est à la fois le centre du cercle inscrit et du cercle circonscrit, le centre de gravité, soit O ce point

dans le triangle rectangle en R', d'après Pythagore :
RR'²+TR'²=RT²
RR'²=100-25=75
RR'>0, RR'=V75=V(25*3)=5V3
(RR') médiane et O centre de gravité, donc OR'=1/3*5V3=5V3/3= rayon du centre du cercle inscrit

dans le triangle TOR' rect en R', d'après Pythagore :
OR'²+TR'²=OT²
(5V3/3)²+25=OT²
25*3/9 +25=OT²
25/3+25=OT²
(25+25*3)/3=OT²=100/3
OT>0, donc OT=V(100/3)=10/V3=10V3/3=rayon du cercle circonscrit

par **ringard** » 22 Mai 2006, 20:34

Merci beaucoup Yvelines78.

Démonstration difficile svp aidez-moi.

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