Cercle circonscrit à un triangle

[cycy321]

On considère un triangle ABC isocèle en A tel que l'angle BAC mesure 50° et AB=5cm.
On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle, noté "C", en un point M.

1- Quelle est la nature du triangle BAM ? Justifier.
2- Calculer la longueur AM et en donner un arrondi au dixième de centimètre près.
3- La droite (BO) coupe le cercle "C" en un autre point K. Quelle est la mesure de l'angle BKC.

[takezo]

Bonjour,

1. M est sur le cercle et [AM] passe par O centre du cercle... donc [AM] est un ..... du cercle (C)
De plus B est aussi sur le cercle. Maintenant, un théorème te permet de donner la nature du triangle BAM

2. Calculer AM.
BAC étant isocèle en A, (AM) étant la médiatrice de la base [BC], c'est aussi la bissectrice de . Donc .
Maintenant que tu connais la nature du triangle BAM, avec AB = 5 et l'angle précédent, tu en déduis AM.

3. Regarde bien la position des angles et dans le cercle... Un théorème te permet de conclure.

Bye

[MABYA]

le centre du cercle circonscrit = point de cours de bissectrices intérieures des angles
1)AO est un rayon du cercle donc AM est un diamètre
=> l'angle ABM qui intercepte un demi cercle est droit, ton triangle BAM est rectangle
2) AB/AM = cos BÂM
BÂM =CAB/2=25°
5/AM=cos 25
5=AM cos 25
AM =5/cos 25 =5/0.91 = 5.49 pour le 1/10 de cm tu arrondis à 5.5
3) les angles CAB et CKM interceptent le même arc CB (petit arc passant par M) ils sont égaux BKC =50°

[takezo]

le centre du cercle circonscrit = point de cours de bissectrices intérieures des angles

Confusion avec le centre du cercle inscrit.
Ici, il s'agit donc du point de point de concours des médiatrices des côtés du triangle.

[cycy321]

Merci beaucoup sa m'a vraiment aider

[MABYA]

Exact !
Curieusement ça ne change pas trop !

[cycy321]

je ne comprend pas pour le numéro 2)

[cycy321]

aidez-moi s'il vous plaît.

[mathelot]

on connaît tous les angles du triangle ABM rectangle en B.
On peut donc écrire fonction de AB et AM

[cycy321]

mais le triangle BAM est rectangle en M.

[takezo]

mais le triangle BAM est rectangle en M

Non ! en B puisque [AM] est un diamètre et B sur le cercle.

Voilà pourquoi tu peux utiliser :
- soit

- soit

(AM) est la médiatrice de la base [BC] du triangle isocèle BAC, c'est aussi la bissectrice de
D'où
et l'angle est le complément de
(rappels :
- les angles aigus d'un triange rectangle sont complémentaires
- la somme des mesures de deux angles complémentaires est 90°)

[cycy321]

merci donc j'ai trouvé MA= 4.3cm.

[takezo]

merci donc j'ai trouvé MA= 4.3cm.

Non, pas logique ! Ton hypoténuse a une longueur inférieure au côté de l'angle droit !
Tu as multiplié alors que tu devais diviser :

D'où


Pour éviter cette erreur, à l'avenir tu peux écrire :

et faire les produits en croix ;

Et tu vois bien que tu ne peux multiplier 5 par le cos !

[cycy321]

Ok donc 5.5cm

[takezo]

C'est bon.