Calcul en différentes bases

[Cess84]

bonjour !
je ne comprends pas comment on fait pour passer par exemple un nombre base 6 en base 5, je suis nulle ! :mur:
par exemple comment passer (256)6 en base 5 ?
je demande juste la méthode, pas le résultat
merci d'avance !!!

(c'est important, je passe le concours d'instit bientôt et ça tombe assez souvent !)

[busard_des_roseaux]

Bonjour,


255 en base 10 veut dire:


on écrit cela avec des puissances de 10,sachant que


La signification des chiffres du nombre 255 vient de la position qu'ils occupent
dans l'écriture du nombre.
2 est en troisième position à partir de la droite donc représente

En base 6, on remplace la base 10 par la base 6, et les puissances de 10
par des puissances de 6.



Les chiffres n'ont pas changé. C'est la base qui a changé.

Imagine maintenant que 106 est écrit en base 6:

106=2*6^2+5*6^1+5*6^0=6*(2*6^1+5*6^0)+5

Le terme en vert est le quotient de la division euclidienne de 106 par 6
et son chiffre des unités, en rouge, est le reste de la division euclidienne de 106 par 6.

On voit que l'on obtient le chiffre des unités de 106 en base 6 en divisant 106
par 6 (la base).

Il suffit de recommencer l'opération avec le quotient pour obtenir le chiffre des unités du quotient qui sera le chiffre de poids 1 (équivalent au chiffre des "dizaines", mais là, c'est le chiffre des sixaines :zen: ) de 106 en base 6.


Exemple pour calculer 106 en base 5:

On commence par effectuer la division de 106 par 5 (la base):
106=5*21+1
Le quotient est 21, le reste 1.
1 est le chiffre des unités de 106 en base 5.
On recommence avec le quotient 21:
21=5*4+1
1 est le reste. 4 le nouveau quotient.

1 est le chiffre de poids 1 de 106 en base 5.

On recommence avec 4.

4=5*0+4
le quotient est nul. L'algorithme est fini.
4 est le reste.

4 est le chiffre de poids 2 de 106 en base 5.

Au final:

106=5*21+1=5(4*5+1)+1=4*5^2+1*5^1+1*5^0

On ecrit:

[Cess84]

merci beaucoup pour ton aide !

si j'ai bien compris il faut passer par la base 10 pour passer un nombre d'une base à une autre ?

[busard_des_roseaux]

merci beaucoup pour ton aide !

si j'ai bien compris il faut passer par la base 10 pour passer un nombre d'une base à une autre ?

ce que je t'ai raconté me semble le plus simple à comprendre. Pour répondre à ta question, en fait, je ne crois pas que ce soit nécéssaire. je réfléchis :hum:

[busard_des_roseaux]

par exemple comment passer (256)6 en base 5 ?

j'attire ton attention. ce que tu as écrit est faux. :hum: Pourquoi ?
ou, alors, tu voulais dire l'entier naturel 256 écrit en base 6.

[Cess84]

oui pardon c'était (254) base 6 à passer en base 5 !!

[busard_des_roseaux]

oui pardon c'était (254) base 6 à passer en base 5 !!

Après reflexion:

Pour écrire en base 5, il faut déja trouver le reste
de par On peut évidemment faire la division euclidienne en base 6 !!! Il faut simplement se rappeler que les chiffres posés représentent des sixaines et pas des dizaines.

voila ce que cela donne

254 | 5
------------------------
24 | 33
1

explication : le dividende partiel écrit 24 veut dire

On continue:

33 | 5
-------------------
1 | 4


d'où:

:zen:

[Cess84]

ça y est j'ai compris, j'ai fait plusieurs exercices que j'avais et ça marche ! vraiment merci d'avoir pris le temps de m'aider, j'étais désemparée !
bonne soirée !
:++:

[marco63]

J'interviens avec une dizaine d'années après ce post, qui m'a bien servi pour me remettre en selle.

Cependant, juste une toute petite remarque, car après avoir repris l'exercice, j'arrivais à une incompréhension de raisonnement.

Lorsqu'on veut transformer le nombre 106 (base 6) en base 10 ou toute autre base d'ailleurs, on se trouve confronté au problème que 106 n'existe pas en base 6.
C'est 105 + 1 si on veut, car le 6 n'existe pas en base 6.

Sinon, excellente démonstration, je suis "à donf" maintenant !

A propos, pourquoi je m'intéresse à la base 6 en particulier ?

Parce que je suis intrigué par les nombres premiers (bien sûr ceux que l'on utilise en base 10), et on se rend compte que tous les nombres premiers qui existent sont distribués systématiqument de part et d'autre d'un multiple de 6, à +/- 1 (hormis bien évidemment 2 et 3).

Par exemple,
5 et 7
11 et 13
17 et 19
23 et (pas 25, car 25 = 5², produit du nombre premier 5 )
29 et 31
(pas 35 car produit de 5 ...) et 37
41 et 43
etc ...

Après bien sûr, la il y a de plus en plus de cas de figure ou l'on rencontre des valeurs de part et d'autre d'un multiple de 6 qui sont eux même des produits impliquant un nombre premier précédent.

Et il y a bien évidemment des cas où un multiple de 6 n'a de part et d'autre aucun nombre premier, c'est le cas de 120, car 119 et 121 sont respectivement multiples de 7 (7*17 = 119) et 11 (11*11 = 121).

J'irai voir sur une autre file le sujet qui traite des nombres premiers, et il doit bien y en avoir ...

Merci encore pour l'explication sur la conversion des bases.