Boite et lancé de fêves, valeur approchée de pi

[Chamomilla]

Bonjour,
Voici un exercice que je n'arrive pas à finir :
Tout en haut de la feuille il y a : "valeur approchée de pi"
Construire une boite en carton de faible hauteur, y tracer un quart de cercle de rayon = à 1 longueur de la boite. Pas de problème pour cette partie
Poser la boite au sol, se placer à 30 centimètres et y jeter 50 fèves ou pièces de monnaies.
Noter le nombre de fêves tombées dans la boite, et le nombre de pièces tombées dans la boite mais uniquement dans le quart de cercle, à refaire 3 fois donc 4 lancés en tout, si quelque pièces tombent hors de la boite c'est sans importance.

J'obtiens :
1° lancé : 48 dans la boite 38 dans le cercle
2è lancé : 47 dans la boite 42 dans le cercle
3è lancé : 47 dans la boite 40 dans le cercle
4è lancé : 45 dans la boite 33 dans le cercle
Total : 187 dans la boite (S) 153 dans le cercle (C)

Calculer Q = C sur S (fraction) et 4 x Q

C sur S= Q = 0,81... et 0,81... x 4 = 3,24...

Donner un encadrement du résultat : 3,1 < 3,2 < 3,3
ou 3,23<3,24<3,25 ?

Et voici ou je m'arrête : conclure et expliquer
Si je comprends bien c'est pour démontrer quelque chose en rapport à pi = 3,14 pour le calcul de l'aire d'un cercle, mais je ne suis pas sûre et je n'arrive pas trouver le lien et à formuler ma réponse.

Merci d'avance

[Lostounet]

Salut,

C'est une de mes approches préférées pour approximer le nombre pi. Il s'agit de l'algorithme de Monte Carlo !

En fait, si tu calcules l'aire du quart de cercle divisée par l'aire du carré, tu vas trouver pi/4. Ceci est la valeur théorique que tu es censée obtenir si tu lances un nombre infini de pièces. La probabilité théorique de tomber dans le quart de cercle est de pi/4, mais statistiquement, tu vas t'en rapprocher !

[Chamomilla]

Salut,

C'est une de mes approches préférées pour approximer le nombre pi. Il s'agit de l'algorithme de Monte Carlo !

En fait, si tu calcules l'aire du quart de cercle divisée par l'aire du carré, tu vas trouver pi/4. Ceci est la valeur théorique que tu es censée obtenir si tu lances un nombre infini de pièces. La probabilité théorique de tomber dans le quart de cercle est de pi/4, mais statistiquement, tu vas t'en rapprocher !

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Merci de m'avoir répondu.
J'ai compris :
aire du carré = 40cm x 40cm = 1600 cm2
aire du cercle = 40 x 40 x 3,14 = 5024
donc 1/4 de cercle = 5024/4 = 1256 cm2
1256/1600 = 0.785
0,785 x 4 = 3,14
mais j'ai pris les dimensions de ma boite, aucune dimension n'a été indiquée par le professeur

Comment formuler par rapport au reste de l'exercice ?
Je comprends comment faire le calcul, mais je n'arrive pas a formuler par rapport au tableau pièces tombées dans la boite, pièces tombées dans le cerce et l'encadrement du résultat et je perds des points à chaque fois à cause de ça :triste:
Est ce que "valeur théorique" c'est dans le programme de 5è, je suis un peu perdue
La probabilité de tomber dans le cercle est de pi/4, mais 0,785 quoi ? c'est 78,5% ?
Merci de l'aide

[ClydeMaths]

Salut , bon c'est mon premier message donc j'espère ne pas dire trop de bétises

Pour ce qui est de la " valeur théorique " il voulait parler simplement de la probabilité qu'on devrait obtenir en faisait l'expérience .

Par exemple pour une pièce :

" Si je lance la pièce 100 fois je devrais avoir 50 fois pile et 50 fois face "

Pour le 0,785 c'est une probabilité oui que tu peux aussi exprimer sous la forme d'un pourcentage 78,5% c'est exactement la même chose

" 78,5 % de chance de tomber dans le quart de cercle "

Qui est égale a Pi/4 donc de la tu va pouvoir remonter à Pi

En espérant t'avoir fait comprendre un peu mieux :p

Tu peux te servir de ton expérience pour remonter a Pi ce qui devait être la vraie démarche j'imagine .

Ici ton 153/187 est ton Pi/4

[nodjim]

Il est à noter, tout de même, qu'il existe des méthodes plus rapides pour obtenir les décimales de PI.....Je me plais à imaginer la tête des géomètres grecs d'antan si un quidam leur avait dit qu'on pouvait calculer PI en lançant des fèves sur le tracé d'un quart de cercle...

[Chamomilla]

Salut , bon c'est mon premier message donc j'espère ne pas dire trop de bétises

Pour ce qui est de la " valeur théorique " il voulait parler simplement de la probabilité qu'on devrait obtenir en faisait l'expérience .

Par exemple pour une pièce :

" Si je lance la pièce 100 fois je devrais avoir 50 fois pile et 50 fois face "

Pour le 0,785 c'est une probabilité oui que tu peux aussi exprimer sous la forme d'un pourcentage 78,5% c'est exactement la même chose

" 78,5 % de chance de tomber dans le quart de cercle "

Qui est égale a Pi/4 donc de la tu va pouvoir remonter à Pi

En espérant t'avoir fait comprendre un peu mieux :p

Tu peux te servir de ton expérience pour remonter a Pi ce qui devait être la vraie démarche j'imagine .

Ici ton 153/187 est ton Pi/4

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Merci de m'avoir répondu

J'arrive à comprendre, mais pas à formuler pour répondre à "conclure et expliquer"
Est ce que ceci est correct :
D'après les résultats obtenus dans l'exercice, la moyenne des lancés donne une valeur théorique de la probabilité que les fèves tombent dans le quart de cercle : 0,81 ou 81%
Si on calcule l'aire du carré (boite de 40 cm de côté) où sont tombées toutes les fèves et l'aire du quart de cercle de rayon 40 où sont tombées 81% des fèves, on obtient :
aire du carré = 40cm x 40cm = 1600 cm2
aire du cercle = 40 x 40 x 3,14 = 5024
donc 1/4 de cercle = 5024/4 = 1256 cm2
1256/1600 = 0.785 ou 78,5% [COLOR=Green]ce qui est proche des 81% obtenus dans l'exercice
0,785 x 4 = 3,14 = pi

L'encadrement du résultat obtenu de 0,81 x 4 = 3,24 soit 3,1< 3,24 <3,3 démontre une valeur approchée de 3,14 (pi).[/COLOR]

Cela me parait bien compliqué pour la 5ème.

Quelqu'un pourrait il corriger ma formulation ?
D'avance merci

[beagle]

Pi question suivante:
pourquoi cette expérience amènet-elle à surcoter pi?

[ClydeMaths]

Bah je sais pas trop si c'est comme ça qu'il faut répondre je connais pas parfaitement le sujet mais j'aurais plutôt penser qu'elle veut que tu dise que d'après les résultats de ton expérience

153/187 est la valeur approximative de ton Pi/4

Et que donc tu trouverait une valeur de Pi d'environ (153/187)*4 = 3,272727....

C'est une valeur un petit peu éloignée mais qui s'explique par le "faible" nombre de répétitions de l'expérience

En gros tu dirait " Les chances théoriques de tomber dans le quart de cercle sont égales à Pi/4 avec mon expérience je peux m'approcher d'une valeur de Pi/4 qui est un peu éloignée à cause du faible nombre de répétitions "

Moi je vois le problème comme ça mais faudrait demander à Lostounet il a l'air de bien connaitre le truc :lol3:

[beagle]

valeur surcotée de l'estimation de pi car il n' ya pas d'équiprobabilité par unité de surface

[Sylviel]

Je rejoint Lostounet dans sa présentation.

Juste un élément qu'on répète un peu trop souvent sans mettre en garde et qui aboutit ensuite à des confusions...

On sait que la probabilité qu'un point tombe dans le quart de cercle est donnée par la formule: p = (nombre de cas favorables)/(nombres de cas envisageables) Cette formule est la plus simple quand on parle de probabilité, je pense que vous l'avez vu.

-> proba d'un évènement = "nombre de cas favorable"/"nombre de cas total" uniquement dans le cas uniforme (chaque cas a autant de chances de se produire) et discret (sinon on a de l'infini / l'infini stricto sensu)
-> dans le cas uniforme continu on peut étendre la notion de "nombre de cas" en prenant par exemple l'aire (même si je ne vois pas comment le justifier au niveau collège)
-> comme l'ont soulevé Beagle et Lostounet en calculant le rapport des aires tu as modélisé chaque fève comme un point, et supposé qu'elles avaient autant de chance d'arriver en chacun des points. Alors que suivant comment tu lance les fèves tu pourrais t'amuser à les concentrer d'un côté par exemple... Ou même, en essayant d'être uniforme il semble probable que les bords vont avoir un effet etc...

Dernier point : on pense parfois que dire "prendre au hasard" sans précision sous-entends uniforme. Cependant ce n'est pas toujours possible. Si je te dis "prends un entier au hasard", tu ne pourras pas le faire de manière uniforme (on peut essayer de voir pourquoi :zen: )

[beagle]

Le petit reproche sur cet exo,
c'est que jeter une grande quantité de pièces, de pois de n'importe quoi,
et de regarder la dispersion au sol,
c'est un excellent exercice d'initiation à Gauss,
c'est donc un brin génant de l'utiliser pour un exercice de loi uniforme avec équiprobabilité des unités de surface.

[lulu math discovering]

C'est une de mes approches préférées pour approximer le nombre pi.

Moi aussi, avec la méthode d'Archimède, puisque ce sont les plus intuitives.

[pianojo]

Chaque valeur a une dimension : quand tu as une aire, la dimension sont des cm² (ou cm²). Pour une aire, ce sont des cm (ou m...).

Quand tu multiplies des valeurs, leurs unités sont "multipliées" : quand tu multiplies des distances par des distances, tu obtiens des aires. De même quand tu divises, tu "divises" les unités : en divisant des mètres par des secondes, tu obtiens des m/s (une vitesse).
Cela permet de vérifier la nature d'un résultat.

Quand tu augmentes ou diminues juste les quantités, il n'y a pas d'unité (unité inchangée). C'est ce qu'on appelle un "nombre sans dimension".
Ici, tu avais l'aire d'un cercle, en divisant l'aire par 4, tu conserves une aire, donc 0.785 est toujours une aire. Cela ne peut donc pas être un pourcentage (nombre sans dimension).

C'est très logique, et on peut raisonner sans nombres (quand on dit "par", il s'agit d'une division).
ex:
* au ciné ou au restau:
(quantité) Prix = prix par personne x nombre de personnes.
(unité) Euro : Euro/personne x personnes

* dans une voiture:
(quantité) accélération = vitesse / temps
(unité) m/s/s = m/s / s

[beagle]

"Ici, tu avais l'aire d'un cercle, en divisant l'aire par 4, tu conserves une aire, donc 0.785 est toujours une aire. Cela ne peut donc pas être un pourcentage (nombre sans dimension)."

Je ne comprends pas.
L'unité ici est la surface du carré, et 0,785 est un bien un %, le quart de cercle représente 78,5% du carré.
S'il y avait équiprobabilité par unité de surface, alors on avait 78,5 chances sur 100 de tomber dans le quart de cercle.C'est bien un % ce truc.

[Chamomilla]

Chaque valeur a une dimension : quand tu as une aire, la dimension sont des cm² (ou cm²). Pour une aire, ce sont des cm (ou m...).

Quand tu multiplies des valeurs, leurs unités sont "multipliées" : quand tu multiplies des distances par des distances, tu obtiens des aires. De même quand tu divises, tu "divises" les unités : en divisant des mètres par des secondes, tu obtiens des m/s (une vitesse).
Cela permet de vérifier la nature d'un résultat.

Quand tu augmentes ou diminues juste les quantités, il n'y a pas d'unité (unité inchangée). C'est ce qu'on appelle un "nombre sans dimension".
Ici, tu avais l'aire d'un cercle, en divisant l'aire par 4, tu conserves une aire, donc 0.785 est toujours une aire. Cela ne peut donc pas être un pourcentage (nombre sans dimension).

C'est très logique, et on peut raisonner sans nombres (quand on dit "par", il s'agit d'une division).
ex:
* au ciné ou au restau:
(quantité) Prix = prix par personne x nombre de personnes.
(unité) Euro : Euro/personne x personnes

* dans une voiture:
(quantité) accélération = vitesse / temps
(unité) m/s/s = m/s / s

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Merci pour vote réponse
Il me semble que dans l'exercice il s'agit du nombre de fèves tombées dans le quart de cercle, donc ça peut être un pourcentage ... ?
et comment formuler avec par ? nombre fèves tombées dans le 1/4 de cercle par nombre de fèves tombées dans la boite ... ça ne veut rien dire, c'est pas comme prix par personne, ou km par seconde

de même si on dit aire du cercle "par" aire de la boite, pour moi ça ne fait pas de sens, ou en tout cas pas comme "euros par personne" ou "mètre par seconde"

[beagle]

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Merci pour vote réponse
Il me semble que dans l'exercice il s'agit du nombre de fèves tombées dans le quart de cercle, donc ça peut être un pourcentage ... ?
et comment formuler avec par ? nombre fèves tombées dans le 1/4 de cercle par nombre de fèves tombées dans la boite ... ça ne veut rien dire, c'est pas comme prix par personne, ou km par seconde

de même si on dit aire du cercle "par" aire de la boite, pour moi ça ne fait pas de sens, ou en tout cas pas comme "euros par personne" ou "mètre par seconde"

suis d'accord (unité/mème unité) est sans unité ...

[Lostounet]

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Merci pour vote réponse
Il me semble que dans l'exercice il s'agit du nombre de fèves tombées dans le quart de cercle, donc ça peut être un pourcentage ... ?
et comment formuler avec par ? nombre fèves tombées dans le 1/4 de cercle par nombre de fèves tombées dans la boite ... ça ne veut rien dire, c'est pas comme prix par personne, ou km par seconde

de même si on dit aire du cercle "par" aire de la boite, pour moi ça ne fait pas de sens, ou en tout cas pas comme "euros par personne" ou "mètre par seconde"

Bonjour,

Je ne pense pas que l'analyse dimensionnelle soit au cœur de cet exercice: j'ai l'impression que cela induit Chamomilla en erreur...

L'objectif ici est de trouver une approximation d'une probabilité (nombre sans dimension...) par une proportion (aussi nombre sans dimension). Je ne vois donc pas trop l'intérêt de porter une attention particulière sur les unités dans ce cadre.

"Il me semble que dans l'exercice il s'agit du nombre de fèves tombées dans le quart de cercle, donc ça peut être un pourcentage ... "

Oui, c'est le pourcentage des fèves dans le cercle PAR RAPPORT aux fèves en tout.

Si on veut faire intervenir des unités à tout prix:
Dans l'exercice il s'agit du nombre de fèves tombées dans le quart de cercle divisé par le nombre de fèves tombées dans le carré.

Cela fait: (nombre de fève dans le cercle/unité de surface) / (nombre de fève dans le carré/ unitesurface)
= (nombre de feve dans le cercle / unite surface) * (unite surface/(nombre de feve dans carre)
= nombre de feve dans le cercle/nombre de feve dans carré

C'est un nombre sans dimension, une proportion, un pourcentage...
Il n'y a pas à parler de fèves/mètre carré. Le seul endroit où devrait intervenir un m^2 est dans le calcul sur le bout de carton...

Je pense que c'est compliquer les choses que de parler de densité de fèves ou que sais-je :ptdr:

[Chamomilla]

Bonjour,

Je ne pense pas que l'analyse dimensionnelle soit au cœur de cet exercice: j'ai l'impression que cela induit Chamomilla en erreur...

L'objectif ici est de trouver une approximation d'une probabilité (nombre sans dimension...) par une proportion (aussi nombre sans dimension). Je ne vois donc pas trop l'intérêt de porter une attention particulière sur les unités dans ce cadre.


Oui, c'est le pourcentage des fèves dans le cercle PAR RAPPORT aux fèves en tout.

Si on veut faire intervenir des unités à tout prix:
Dans l'exercice il s'agit du nombre de fèves tombées dans le quart de cercle divisé par le nombre de fèves tombées dans le carré.

Cela fait: (nombre de fève dans le cercle/unité de surface) / (nombre de fève dans le carré/ unitesurface)
= (nombre de feve dans le cercle / unite surface) * (unite surface/(nombre de feve dans carre)
= nombre de feve dans le cercle/nombre de feve dans carré

C'est un nombre sans dimension, une proportion, un pourcentage...
Il n'y a pas à parler de fèves/mètre carré. Le seul endroit où devrait intervenir un m^2 est dans le calcul sur le bout de carton...

Je pense que c'est compliquer les choses que de parler de densité de fèves ou que sais-je :ptdr:

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Je pense aussi que c'est plus en rapport à la proportionnalité et aux calcul d'aires (dans le programme de 5è) que probabilité (pas encore vu), ou autre analyse.

Merci beaucoup ! c'est passionnant ! mais très abstrait, pour moi, si on jette les fèves comme indiqué : se placer à 30 cm, ok, mais quoi ? la main ? debout à 30 cm, alors je les jette de haut et elles rebondissent plus, les jeter une par une ou toutes d'un coup ? délicatement ou avec force ? celles qui tombent sur la ligne, elles appartiennent au cercle ou hors du cercle ? bref, on pourrait en parler longtemps, lol.

Mais j'ai compris et je remercie tous les personnes qui m'ont aidées :happy2:

[Lostounet]

Bonnes questions qui prouvent que tu as la maturité requise pour commencer les probabilités !

Tu peux toujours nous poser des questions, on peut t'expliquer en termes plus adaptés au cours de 5ème.

[pianojo]

Au final, le nombre recherché est bien un nombre sans unité (rapport de surfaces), mais le nombre considéré était bien une aire.

Pour les détails de lancement, cela suppose que tu les lances de manière complètement arbitraire : au bout d'un grand nombre de coups, elles sont à peu près uniformément réparties (sauf si tu as mis un aimant quelque part dans le carré...). C'est comme tirer à pile ou face: tu as très peu de chances de toujours tirer pile, et au bout d'un grand nombre de coups, tu as tiré environ autant de fois pile que face. C'est ce qu'on appelle la loi des grands nombres : tu peux parier sans risque que ton voisin ne gagnera pas 100 fois de suite au loto.

Tes questions à propos du lancer montrent que tu as un esprit analytique : continue à poser des questions sur le problème, et tu trouveras les réponses par toi-même (pourquoi? ...). La limite du cercle est fine, donc si ça tombe pile à la limite, cela aura peu d'impact. Si tu veux vraiment faire un choix, pour que cela ait le moins d'influence possible, tu peux dire par exemple que si ça tombe sur la bordure du cercle tu le prends en compte une fois sur deux. Tu peux aussi dire: je ne considère pas la pièce tout entière si elle est sur la bordure, mais juste son centre (infiniment petit, donc il y a 0 chance qu'il soit pile sur la bordure). Tu peux essayer de mesurer dans le doute (en moyenne, les erreurs auront tendance à se compenser, toujours grâce à "la loi des grands nombres", donc tu peux les ignorer).

La force aura aussi peu d'influence (sauf si ça rebondit, mais alors, si ça tombe en dehors du carré, tu l'ignores car le lancer ne remplit pas l'hypothèse).