Algèbre et géométrie

[sakuracce]

Hello !

Cet heureux matin, mon prof de maths m'a proposé quelques exercices qui s'avèrent un peu compliqués. Je suis arrivé en résoudre quelques uns, mais je bloque pour les autres et j'aurais besoin de votre aide.

Exercice n°1 : x est un nombre strictement positif.
Considérons les deux nombres réels a et b sachant que : a = 1/2(1/x + 1) et b = (x+1)/(x²+1)
Compare a et b.

Donc, pour le premier, j'ai essayé de développer a, et soustraire b du résultat, mais cela n'a pas marché et je suis resté coincé. Y aurait-il une autre technique ?

Exercice n°2 : Considérons le nombre réel : a = (1+V5)/2
Montre que a² - a - 1 = 0 et conclus-en la valeur du nombre suivant : a^8 - a^7 - a^5 - a^4 + a^3 - 2a² + 2

J'ai calculé a² - a en premier, et j'ai trouvé que c'est égal à 1. Puis j'ai soustrait 1 du résultat, et j'ai bien trouvé 0.
Par contre, pour la deuxième partie de l'exo, je ne suis pas vraiment sûr.
Je me suis dit que, étant donné que a² - a = 0 alors logiquement parlant, a^8 - a^7 serait égal à 0, ainsi que a^5 - a^4. Mais je bloque là-dessus.

Géométrie :

1 : ABC est triangle, les droites (BC) et (DE) sont parallèles et AB = V2
Détermine la distance AE sachant que le triangle AED et le trapèze BCDE sont de la même surface.

2 : Considérons le segment [AB] dont la longueur est : a.
En utilisant la règle et le compas seulement, rédige le point C appartenant à [AB] sachant que : AC = (aV3)/2

Merci d'avance et bonne soirée !

[capitaine nuggets]

Salut !

Un début de solution :

Exercice 1 : Comparer et revient à étudier le signe de leur différence. Exprime donc (ou , ça n'a pas d'importance) en fonction de et essaie d'en trouver le signe en sachant que est strictement positif.

Exercice 2 : La relation est fondamentale : à partir d'elle, tu en déduis que . En remarquant que , exprime uniquement en fonction de et d'une constante. Cela te permettra ensuite d'exprimer uniquement en fonction de et d'une constante , puis , puis et enfin .

[sakuracce]

Merci beaucoup pour votre réponse !
Pour le premier exo, c'est justement ce que j'ai fait, mais je bloque en ce qui concerne la réduction de l'expression.
Et pour le deuxième je ne comprends pas vraiment votre idée, voici ce que j'ai "fabriqué" : a² ( a^4 - a^5 - a^3 - a^2 + a ) - 2a
Mais ça revient au même...

[sakuracce]

Bonjour.

C'est ce que j'ai trouvé pour le premier exercice : (-x^2+1+x^3-x)/(2x^3 + 2x)
Mais j'arrive pas à déterminer le signe.
Serait-il correct de mettre ceci : -(x^2 - 1 - x^3 + x)/(2x^3 + 2x) comme résultat et en déduire que le signe de la différence entre a et b est négatif ? ( a<b)

[mouette 22]

pour le devoir de géométrie , second exercice .
.
En construisant un triangle équilatéral de côté a et sa hauteur (aV3)/2...... tu as donc la solution

[lop]

Hello pour le 2
a est le nombre dor ( inutile pour résoudre l'exo mais bonn)
a^2=a+1
a^3=a*a^2=a*(a+1)=a^2+a=2a+1
Après utilise ce qu'a dit captain nuggets

[laetidom]

Bonjour.

C'est ce que j'ai trouvé pour le premier exercice : (-x^2+1+x^3-x)/(2x^3 + 2x)
Mais j'arrive pas à déterminer le signe.
Serait-il correct de mettre ceci : -(x^2 - 1 - x^3 + x)/(2x^3 + 2x) comme résultat et en déduire que le signe de la différence entre a et b est négatif ? ( a<b)

Bonsoir,

je trouve aussi que :

Dénominateur : x²+1 > 0 et 2x >0 car x > 0 dans l'énoncé,



Numérateur : on remarque une racine évidente avec x = 1

donc divisé par x - 1 donne x² -1

donc

donc au final, le signe du numérateur est celui de x+1 puisque (x-1)² est un carré toujours > 0,

et puisque x > 0 dans l'énoncé et que x+1 > 0 alors a-b > 0


Alors a > b que l'on peut visualiser sur cette capture : http://www.cjoint.com/c/FAhsDqHWbif

Bonne soirée.

[siger]

bonsoir

Merci beaucoup pour votre réponse !
Pour le premier exo, c'est justement ce que j'ai fait, mais je bloque en ce qui concerne la réduction de l'expression.
Et pour le deuxième je ne comprends pas vraiment votre idée, voici ce que j'ai "fabriqué" : a² ( a^4 - a^5 - a^3 - a^2 + a ) - 2a
Mais ça revient au même...

comme te l'a indiqué Capitaine Nuggets il faut utiliser la relation
a^2=a+1
...
a^3 = (a^2)*a = (a+1)*a =a^2+a= (a+1)+a=2a+1
a^4=(a^2)^2=(a+1)^2=a^2+2a+1 = (a+1)+2a+1= 3a+2
a^5 = (a^4)*a= 5a+3
.......

[sakuracce]

Merci beaucoup ! Grâce à vous, je suis arrivé à résoudre les exos d'algèbre.
Cependant, je ne comprends pas vraiment pour le deuxième exercice de géométrie. Pourrais-tu me préciser un peu ton idée, mouette ?

Merci encore,
Cordialement.

[mouette 22]

Merci beaucoup ! Grâce à vous, je suis arrivé à résoudre les exos d'algèbre.
Cependant, je ne comprends pas vraiment pour le deuxième exercice de géométrie. Pourrais-tu me préciser un peu ton idée, mouette ?

Merci encore,
Cordialement.

c'est très simple . Il suffit que tu construises un triangle équilatéral et une hauteur (qui est aussi médiane , médiatrice , bissectrice) . Quand le côté vaut "a" la hauteur vaut (aV3)/2 (tu choisis "a" avec une ouverture de compas quelconque )
Construis donc ce triangle en choisissant toi-même "a" et trace une hauteur
Sur un segment AB de longueur "a", cherche le point C tel que AC= la hauteur que tu as tracée dans le triangle .

[sakuracce]

Bonjour.

J'ai pris du papier et j'ai suivi tes consignes une par une ( avec a = 5 ). Par contre je ne vois pas où est le V3 dont tu me parles et dont je dois, évidement, me servir.
Ça me semble ( un peu ) trop compliqué.
Désolé, mais je ne te comprends pas.

[mouette 22]

mais ne t'occupe pas de V3!!!!!!

as tu tracé la hauteur ?

si OUI """""tu as""""""" avec cette hauteur une ouverture de compas de (5V3/2) et tu t'en sers !

[sakuracce]

Oui mais, je ne crois pas qu'il suffit de dessiner C. Mais il faut prouver pourquoi je l'ai dessiné dans cet endroit quelconque d'abord.
Mais ce que je n'arrive surtout pas à comprendre est : Comment est-il possible que (AC) soit la hauteur de ABC avec C qui appartient à [AB].
Par ailleurs, je suis arrivé à prouver que la hauteur est égale à aV3/2, donc AC serait sûrement la hauteur. Mais je sais pas où mettre C.

[mouette 22]

alors ... fais ce que tu veux ...
je ne peux pas te convaincre davantage .
Personne n'a dit que le triangle équilateral s'appelle ABC!!!! C'est un triangle sans nom ,si tu le désires ,et sa hauteur... sans nom aussi vaut 5V3/2. Et cette constrution est INDEPENDANTE du segment AB . ELLE SERT SEULEMENT a trouver 5V3/2
Sur un segment AB de 5cm , tu portes AC= 5V3/2 (que tu viens de construire à côté ) et tu obtiens le point C
(Mais j'espère qu' ayant la correction du devoir , tu auras la gentillesse de revenir en parler , ne serait-ce que pour les élèves intéressés par cet exercice !)