Aire Du Triangle

[Steve]

Bonjour,

Pourriez-vous me dire comment démontrer que l'aire d'un triangle est égale au produit du demi-périmétre par le rayon du cercle inscrit.

[PaTaPoOF]

Bonsoir (ou plutôt bonne nuit vu l'heure),

Soit un triangle quelconque ABC d'aire S, O le centre du cercle circonscrit au triangle de rayon R et I le centre du cercle inscrit dans le triangle de rayon r.
On note a, b et c les côtés opposés à , , et respectivement, et p le demi-périmètre de ABC.
Je te conseille de faire une figure pour suivre.

D'après le théorème de l'angle au centre :
si A est sur le grand arc.
si A est sur le petit arc.

Donc dans tous les cas,

Comme le triangle BOC est isocèle, on a :


D'où : et

Sachant que , on a .

D'où

Enfin, en décomposant le triangle ABC en trois triangles, BOC, AOC, AOB dont les aires sont respectivement , et , il vient :



Voilà voilà. Un peu compliqué pour du niveau collège, plaqué comme ça je trouve.

[Steve]

Merci beaucoup

[PaTaPoOF]

De rien mais promets-moi seulement que tu ne te contenteras pas de recopier la démonstration ;)

[Steve]

T'inquiète pas. Ce n'est pas du niveau de 4ème.
Mais le début va m'aider à poursuivre les recherches.
Je n'ai pas encore appris les sinus. Ce sera en 3ème.

Merci encore

[PaTaPoOF]

Ah, il y a peut-être une autre méthode alors, si quelqu'un a une idée...

[rene38]

Bonjour
ABC est un triangle ; I est le centre du cercle inscrit ;
I se projette orthogonalement en A', B' et C' respectivement sur [BC], [CA] et [AB].
On obtient 6 triangles rectangles dont la somme des aires est l'aire de ABC.
De plus, IA'=IB'=IC'=rayon du cercle inscrit ;
AB'=AC' ; BA'=BC' et CA'=CB' (propriété des bissectrices).
Il doit être facile de terminer.

[Steve]

Merci beaucoup pour ta réponse.
Je vais continuer