Aire d'un triangle ABC

[Dacu]

Bonjour,

Soit ABC un triangle , et .Si , , , , trouver .

L'auteur de ce problème est le Professeur de mathématiques Ion Neață , de la ville Slatina de Roumanie.

Merci beaucoup!

[anthony_unac]

Bonsoir,

Rassurez moi, on ne donne pas des horreurs pareils à faire à des élèves de primaire/collège ?!
Si ABC est quelconque et/ou M est pris au hasard sur [AB] de même pour N sur [AC], je ne vois pas ce qu'on peut en dire ? A moins que je ne sois passé à côté de quelque chose d'élémentaire mais j'ai un doute

[Dacu]

Bonsoir,

Rassurez moi, on ne donne pas des horreurs pareils à faire à des élèves de primaire/collège ?!
Si ABC est quelconque et/ou M est pris au hasard sur [AB] de même pour N sur [AC], je ne vois pas ce qu'on peut en dire ? A moins que je ne sois passé à côté de quelque chose d'élémentaire mais j'ai un doute

Bon matin,

Et je doute et je pense que le problème est trop peu de données à résoudre ... Cette question de la classe VII j'ai trouvé dans un journal de mathématiques ....J'ai essayé de résoudre le problème graphiquement et a obtenu des résultats différents pour l'une des trois zones de données .....

Cordialement

[Lostounet]

Manque-t-il des données?

Si on rajoute une donnée supplémentaire (laquelle..?) Peut-on avoir une solution?

[bolza]

Bonsoir,
il semblerait que l'énoncé soit complet !

J'ai joué un peu avec géogebra et effectivement, même si il n'y a pas unicité de la figure,
j'ai fait plusieurs essai et il semblerait que l'aire du triangle ABC soit constant (il semblerait que ce soit 80).

Par contre je n'ai pas encore trouvé de preuve
juste un résultat (peut-être inutile):
-Si H est le projeté orthogonal de A sur MN et H' celui de O sur MN alors on a AH=4OH'....

[Dacu]

Bonsoir,
il semblerait que l'énoncé soit complet !

J'ai joué un peu avec géogebra et effectivement, même si il n'y a pas unicité de la figure,
j'ai fait plusieurs essai et il semblerait que l'aire du triangle ABC soit constant (il semblerait que ce soit 80).

Par contre je n'ai pas encore trouvé de preuve
juste un résultat (peut-être inutile):
-Si H est le projeté orthogonal de A sur MN et H' celui de O sur MN alors on a AH=4OH'....

Bon matin,

Si ABC est triangle équilatéral et rectangulaire et
, puis quelles sont les valeurs de dans deux cas , mais par le calcul?

Cordialement

[danyL]

Bon matin,

Si ABC est triangle équilatéral et rectangulaire et
, puis quelles sont les valeurs de dans deux cas , mais par le calcul?

Cordialement

je ne comprends pas bien
"rectangulaire" tu veux dire triangle rectangle ? en quel sommet ?
mais il ne peut pas être équilatéral s'il est rectangle

[Pseuda]

Bonjour,

Indication : On peut dans un 1er temps, considérer que la droite (MN) est parallèle à la droite (BC).

En utilisant Thalès dans les triangles OBC et OMN, puis dans les triangles ABC et AMN, on trouve un coefficient d'agrandissement entre les triangles (c'est du niveau 3ème), puis on déduit que : aire de ABC = 10/3 aire de AMN = 80 cm².

Dans un 2ème temps, on déplace M et N le long de [AB] et de [AC] de telle façon que les aires données en hypothèse restent identiques, ..., la somme des hauteurs reste identique, donc l'aire de ABC ne change pas.

[Dacu]

Dans un 2ème temps, on déplace M et N le long de [AB] et de [AC] de telle façon que les aires données en hypothèse restent identiques, ..., la somme des hauteurs reste identique, donc l'aire de ABC ne change pas.

Bonsoir,

Je voudrais quelques calculs lorsque et ne sont pas parallèles.

Merci beaucoup!

Cordialement

[chan79]

salut
on peut y arriver comme ça:
on pose:
a=AM
b=MB

soit x l'aire de OBM et y l'aire de OCN
Les aires de ANM et MNB sont proportionnelles à a et b (même hauteur)
donc
24/a=(6+x)/b
de même avec ACM et MCB
(30+y)/a=(x+20)/b
donc
24/(6+x)=(30+y)/(x+20)
soit
6x+6y+xy=300
or xy=6*20=120 (voir le quadrilatère BCNM et ses diagonales)

cela donne 6x+6y+120=300

x+y=30

l'aire de ABC=24+6+20+30=80

Il reste à trouver un exemple pour vérifier que c'est possible. (On a nécessairement x+y=30 et xy=120)
En voici un:




autres exemples:





On pourra cliquer sur le lien ci-dessous et déplacer A, M ou N pour obtenir des figures qui conviennent.
https://www.geogebra.org/m/xjt95B6E

[Pseuda]

Dans un 2ème temps, on déplace M et N le long de [AB] et de [AC] de telle façon que les aires données en hypothèse restent identiques, ..., la somme des hauteurs reste identique, donc l'aire de ABC ne change pas.

Bonsoir,

Je voudrais quelques calculs lorsque et ne sont pas parallèles.

Merci beaucoup!

Cordialement

Bonjour,

Après mûre réflexion, je me rends compte que ma démo ne tient pas la route.

En effet, si on pouvait construire (MN) // (AB) telle que les aires données en hypothèse restent les mêmes, on aurait bien : et aire (ABC) = * aire (AMN) = 80, sauf que ... cette construction est impossible (un peu gênant).

Dans un tel triangle, en appelant :
h = hauteur de OBC issue de O,
h1 = hauteur de OMN issue de O,
h2 = hauteur de AMN issue de A,
on aurait à la fois h1=* h, h2 = 4 * h1, et h+ h1 + h2 = 4 h, ce qui n'a pas de solution. Il n'y a donc pas de triangle vérifiant les aires données en hypothèse, tel que (MN) // (BC).

Pour compléter la démonstration de Chan, et la rendre lisible au niveau collège :
on a (toujours en utilisant la hauteur des triangles) : => xy = 120.

[anthony_unac]

Bonjour,

J'ai lu la démo de chan79 sauf que dans l'énoncé, il n'est pas dit que MN est perpendiculaire à AB non ?

[chan79]

Bonjour,

J'ai lu la démo de chan79 sauf que dans l'énoncé, il n'est pas dit que MN est perpendiculaire à AB non ?

salut
Je n'ai pas utilisé cette perpendicularité dans ma démo.
J'ai choisi (MN) et (AB) perpendiculaires pour deux exemples de figure, pas pour les autres.
Cordialement

[anthony_unac]

Exact chan79 !
Ta démo est "simple" et efficace !
Perso je n'aurais jamais eu l'idée d'écrire ne serait ce que la première ligne en jouant sur la proportionnalité des aires. Bien joué !
Pas sûr en revanche que je ressorte ce type d'exercice à mes nièces du primaire

PS : Dacu, cet exercice à été proposé à des primaires de france métropolitaine ?

[chan79]

Pas sûr en revanche que je ressorte ce type d'exercice à mes nièces du primaire

Il ne faudrait même pas le donner au Bac S , surtout sans la démarche!
On fait d'ailleurs de moins en moins de géométrie au lycée. Je trouve que c'est dommage ....

[Pseuda]

Bonsoir,

Cet exercice peut théoriquement être donné au collège avec des indications, mais je ne suis pas sûre qu'un élève de 3ème puisse vraiment le comprendre.

Il faut poser des lettres pour les inconnues, utiliser à plusieurs reprises la proportionnalité sous forme de quotient (et non pas de produit), (après avoir vu qu'il y avait une situation de proportionnalité), résoudre des équations à 2 inconnues....

Je pense plus que Dacu l'a posé comme un défi (il suffit d'aller voir ses posts), mais en section collège-primaire (au lieu de la section défis-énigmes), pour qu'on s'y laisse prendre (on cherche une solution que peut trouver un élève de 3ème....)

[Dacu]

Exact chan79 !
Ta démo est "simple" et efficace !
Perso je n'aurais jamais eu l'idée d'écrire ne serait ce que la première ligne en jouant sur la proportionnalité des aires. Bien joué !
Pas sûr en revanche que je ressorte ce type d'exercice à mes nièces du primaire

PS : Dacu, cet exercice à été proposé à des primaires de france métropolitaine ?

Bon matin,

Désolé,mais cette problème a été proposé dans un journal mathématique dans un pays de l'Union européenne....etant un test pour la classe VII correspondant avec la classe 5eme de la collège en France...

Cordialement!

[Pseuda]

Bon soir,

Bon alors, la France est plus en retard que je croyais. Résoudre ça à 12 ans, et sans indication !

[anthony_unac]

Quel est donc ce pays de l'union européenne ?
S'agit il d'un enseignement donné par un établissement de l'état ou par des professeurs d'un établissement privé ?

[Dacu]

Quel est donc ce pays de l'union européenne ?
S'agit il d'un enseignement donné par un établissement de l'état ou par des professeurs d'un établissement privé ?

Bon matin,

Est la Roumanie....et cette problème a été proposé dans un journal mathématique....

Cordialement!