Aire d'un triangle ABC

par **chan79** » 01 Sep 2016, 09:52

salut à tous
une autre approche, pas de niveau collège en France

On considère le quadrilatère complet OMAN de diagonales (MN), (AO) et (BC).
On sait que chaque diagonale coupe les deux autres en créant des divisions harmoniques.
En particulier: OI/OJ=AI/AJ
soit OI/AI=OJ/AJ
Avec Thalès, on montre que le rapport OI/AI est le rapport des hauteurs de OMN et AMN, de base commune MN.
Donc OI/AI=(aire de OMN)/(aire de AMN)
de même OJ/AJ=(aire de OBC)/(aire de (ABC)

on a donc aire de ABC= aire de AMN * aire de OBC / aire de OMN

dans notre cas: aire de ABC=24*20/6=80

par **Dacu** » 02 Sep 2016, 05:16

Bon matin pour tous,

Je ne comprends pas ....Certains de mes amis passionnés de mathématiques ont trouvé que la zone du triangle ABC peut être de

,

ou même

...
----------------------------------------------------------
J’ai construit graphiquement le quadrilatère complet de AMONBC en nombreuses variantes telles que les trois zones de triangles sont respectés et j'ai obtenu des valeurs différentes de l’aire du triangle ABC... :roll:

Cordialement!

par **chan79** » 02 Sep 2016, 06:53

Bonjour
Montre ta construction.
J'ai supposé que M est un point du segment [AB] (entre A et B) et même chose pour N.

par **Pseuda** » 02 Sep 2016, 10:32

Bonjour,

Bravo Chan pour cette démonstration très synthétique. Cela confirme la situation de proportionnalité entre les aires.

Cela m'éclaire aussi sur "ma" solution avec l'hypothèse (MN) // (BC) qui semble être une configuration limite : avec la hauteur des triangles qui devient nulle et leur base qui tend vers l'infini, en continuant à vérifier les mêmes aires, cette configuration "limite" pourrait être utilisée.

Je demande aussi à voir les résultats de Dacu, dont l'objectif semble être d'embrouiller la sauce plutôt que de la clarifier (soit la démarche anti-pédagogique à souhait).

par **Dacu** » 02 Sep 2016, 18:02

chan79 a écrit:salut à tous
une autre approche, pas de niveau collège en France

On considère le quadrilatère complet OMAN de diagonales (MN), (AO) et (BC).
On sait que chaque diagonale coupe les deux autres en créant des divisions harmoniques.
En particulier: OI/OJ=AI/AJ
soit OI/AI=OJ/AJ
Avec Thalès, on montre que le rapport OI/AI est le rapport des hauteurs de OMN et AMN, de base commune MN.
Donc OI/AI=(aire de OMN)/(aire de AMN)
de même OJ/AJ=(aire de OBC)/(aire de (ABC)

on a donc aire de ABC= aire de AMN * aire de OBC / aire de OMN

dans notre cas: aire de ABC=24*20/6=80

Bonsoir,

Très intéressant!Comment pouvons-nous montrer que

?Merci beaucoup!
---------------------------------------------------------------
Si

est triangle équilatéral et

alors il suit facilement par calcules que

.

Cordialement!

par **chan79** » 02 Sep 2016, 21:16

Dans ce cas aussi, l'aire de ABC est égale à 80.
Mes calculs sont trop longs pour être mis ici. Il y a probablement une solution simple.
Pour la figure, on peut partir d'un triangle AMN quelconque, pourvu que son aire soit égale à 24.

par **chan79** » 03 Sep 2016, 16:04

Autre cas

par **Dacu** » 03 Sep 2016, 16:30

Dacu a écrit:
chan79 a écrit:salut à tous
une autre approche, pas de niveau collège en France

On considère le quadrilatère complet OMAN de diagonales (MN), (AO) et (BC).
On sait que chaque diagonale coupe les deux autres en créant des divisions harmoniques.
En particulier: OI/OJ=AI/AJ
soit OI/AI=OJ/AJ
Avec Thalès, on montre que le rapport OI/AI est le rapport des hauteurs de OMN et AMN, de base commune MN.
Donc OI/AI=(aire de OMN)/(aire de AMN)
de même OJ/AJ=(aire de OBC)/(aire de (ABC)

on a donc aire de ABC= aire de AMN * aire de OBC / aire de OMN

dans notre cas: aire de ABC=24*20/6=80

Bonsoir,

Très intéressant!Comment pouvons-nous montrer que ?Merci beaucoup!
---------------------------------------------------------------
Si est triangle équilatéral et alors il suit facilement par calcules que .

Cordialement!

Bonsoir,

Lire ci-dessous résoudre ce problème par mon ami , le Professeur de mathématiques Victor Ailioaiei:

Appliquer le Théorème de Ménélaüs dans le triangle

avec la sécante

et dans le triangle

avec la sécante

:

et puis finalement obtenir

.

Il est connu que:

.

En conclusion, nous obtenons que

et alors

et enfin

.

Cordialement!

par **Lostounet** » 03 Sep 2016, 17:10

En tout cas merci Chan et Pseuda pour leurs solutions.
Je me suis aussi posé la question de l'existence du triangle ABC étant données les aires des petits triangles. J'ai constaté que l'on a cherché un ABC convenant a posteriori.

Comment savoir si ABC existe à priori ? En notant p q et r les aires des petits triangles, quelles seraient les contraintes sur p q et r (s'il y en a ! Et je pense que oui. Pseuda s'est heurtée à des contraintes qui ont empêché du Thalès... d'ailleurs si tu as procédé par implications Pseuda, je vois pas le problème: si abc existe alors son aire vaut 80... tu as relâché les contraintes il a existé donc aire 80.. )
qui feront que la construction de ABC est possible ou pas ?

par **anthony_unac** » 03 Sep 2016, 17:36

Merci pour cette démo Dacu. Grâce à vous, j'ai pu apprendre le théorème de Ménélaüs (qui se démontre en passant à l'aide de celui de Thalès) ce qui signifie que tout était effectivement démontrable à l'aide des outils de base ! Donc bravo pour la démo mais aussi et surtout pour l'intelligence du créateur de cet exercice. Tout ceci était bien pensé

par **chan79** » 03 Sep 2016, 17:47

Dacu a écrit:
Dacu a écrit:Bonsoir,

Lire ci-dessous résoudre ce problème par mon ami , le Professeur de mathématiques Victor Ailoaie:

Appliquer le Théorème de Ménélaüs dans le triangle avec la sécante et dans le triangle avec la sécante :

et puis finalement obtenir .

Il est connu que:

.

En conclusion, nous obtenons que et alors et enfin .

Cordialement!

Bien vu pour cette démo.

par **chan79** » 03 Sep 2016, 18:30

Lostounet a écrit:
Comment savoir si ABC existe à priori ?

Salut Lostounet
Effectivement, on se pose cette question.
On a démontré seulement que si un tel triangle existe, alors son aire est 80.
Pour être complet, on peut trouver un exemple. Dans notre cas, il y en a une infinité.
Dans un cas plus général, avec p, q, r au lieu de 24, 6, 20 .... il faut voir...
avec p=24 q=6 et r=1 ça ne marche pas
Si x est l'aire de ABC , ça donnerait 6/24=1/x donc x=4
un triangle d'aire 4 en contiendrait un d'aire 24.
Avec (p,q)=(24,6), il doit y avoir une valeur minimale pour r ....

Sinon, en posant S=aire de ABC
q/p=r/S
S=pr/q
il est nécessaire que pr/q>p soit r>q
pr/q>q soit r>q²/p
mais ce ne sont que des conditions nécessaires et ce ne sont pas les seules ... à suivre

par **Dacu** » 03 Sep 2016, 18:36

anthony_unac a écrit:Merci pour cette démo Dacu. Grâce à vous, j'ai pu apprendre le théorème de Ménélaüs (qui se démontre en passant à l'aide de celui de Thalès) ce qui signifie que tout était effectivement démontrable à l'aide des outils de base ! Donc bravo pour la démo mais aussi et surtout pour l'intelligence du créateur de cet exercice. Tout ceci était bien pensé

Bonsoir,

Avec plaisir!Le mérite est de mon ami, le Professeur de mathématiques Victor Ailioaiei.L'auteur de ce problème est le Professeur de mathématiques Ion Neață , de la ville Slatina de Roumanie.
-------------------------------------------------------------
Un site très intéressant , https://www.youtube.com/watch?v=TyI9goQsTgI .

Merci beaucoup!

Cordialement!

par **Dacu** » 04 Sep 2016, 05:31

chan79 a écrit:Bonjour
Montre ta construction.
J'ai supposé que M est un point du segment [AB] (entre A et B) et même chose pour N.

Bon matin,

Mille excuses!
Je l'ai fait constructions graphiques plus attentivement et j'ai obtenu des valeurs des aires très proche de la valeur qui est obtenue par le calcul pour le triangle ABC. :oops:

Cordialement!

par **chan79** » 04 Sep 2016, 13:07

Salut
Juste une conjecture :
p=24
q=6
La valeur minimale de r (aire de OBC) pour que le triangle ABC soit constructible est égale à 50/3.
L'aire de ABC est alors 200/3
Plus généralement, la valeur minimale de r est égale à q(p+q)²/(p-q)²
On est dans le cas particulier où (MN) et (BC) sont parallèles (voir les posts de Pseuda)

par **chan79** » 04 Sep 2016, 13:44

Dacu a écrit:Bonsoir,

Très intéressant!Comment pouvons-nous montrer que ?Merci beaucoup!

Voilà:

(propriété de Thalès)

Cordialement

par **Lostounet** » 04 Sep 2016, 15:09

Chan, merci de t'intéresser au problème p q r et de la valeur minimale (cela m'intéresse aussi).

Tu traites le cas des droites parallèles?

par **Lostounet** » 04 Sep 2016, 15:14

chan79 a écrit:On a démontré seulement que si un tel triangle existe, alors son aire est 80.
Pour être complet, on peut trouver un exemple.

Pseuda a écrit:
Bonjour,

Après mûre réflexion, je me rends compte que ma démo ne tient pas la route.
sauf que ... cette construction est impossible (un peu gênant).
[...] Il n'y a donc pas de triangle vérifiant les aires données en hypothèse, tel que (MN) // (BC).

.

Mais s'il en existe un, son aire est 80 (selon ta construction impossible Pseuda). Du coup, je ne vois pas pourquoi la démo ne tiendrait pas la route (car même principe logique de Chan: s'il existe alors aire 80..). Merci de m'expliquer

par **chan79** » 04 Sep 2016, 15:19

Lostounet a écrit:Chan, merci de t'intéresser au problème p q r et de la valeur minimale (cela m'intéresse aussi).

Tu traites le cas des droites parallèles?

Il me semble que, p et q étant donnés ( avec p>q), la valeur minimale de r est obtenue dans le cas où (MN)//(BC).
Cette valeur serait q(p+q)²/(p-q)²
Ce n'est qu'une conjecture qui sera peut-être mise en défaut.

par **Dacu** » 06 Sep 2016, 04:35

chan79 a écrit:
Dacu a écrit:Bonsoir,

Très intéressant!Comment pouvons-nous montrer que ?Merci beaucoup!

Voilà:

(propriété de Thalès)

Cordialement

Bon matin,

Je comprends! Merci beaucoup!

Cordialement!

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