Aidez moi, merci

[wurda]

Bonsoir, quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre ce problème de géométrie?
Dans un triangle équilatéral, démontrer que si M est un point intérieur à un triangle ABC, la somme des distances de M aux trois côtés du triangle est égale à AI (distance d'un des sommets au côté opposé à ce sommet)

je vous remercie.

[Chimerade]

Bonsoir, quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre ce problème de géométrie?
Dans un triangle équilatéral, démontrer que si M est un point intérieur à un triangle ABC, la somme des distances de M aux trois côtés du triangle est égale à AI (distance d'un des sommets au côté opposé à ce sommet)

je vous remercie.

En quelle classe es-tu ?
Sais-tu calculer la distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé ? Si oui, la réponse sera simple. Si non, la réponse peut se faire géométriquement mais c'est compliqué d'écrire une solution géométrique sans figure ! Alors j'attends ta réponse !

[wurda]

En quelle classe es-tu ?
Sais-tu calculer la distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé ? Si oui, la réponse sera simple. Si non, la réponse peut se faire géométriquement mais c'est compliqué d'écrire une solution géométrique sans figure ! Alors j'attends ta réponse !

Non, je ne sais pas calculer la distance d'un point à une droite ds un repère orthonormé.
Merci quand même

[wurda]

Non, je ne sais pas calculer la distance d'un point à une droite ds un repère orthonormé.
Merci quand même

(c'est un exercice de 4ème)

[wurda]

En quelle classe es-tu ?
Sais-tu calculer la distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé ? Si oui, la réponse sera simple. Si non, la réponse peut se faire géométriquement mais c'est compliqué d'écrire une solution géométrique sans figure ! Alors j'attends ta réponse !

Voici l'exercice:

Un triangle équilatéral ABC. Un point M relié aux trois côtés du triangle: MK, MH, ML.
La réponse n'est pas facile comme ça.
Merci quand même.

[Chimerade]

Voici l'exercice:

Un triangle équilatéral ABC. Un point M relié aux trois côtés du triangle: MK, MH, ML.
La réponse n'est pas facile comme ça.
Merci quand même.

Bon ! Trace la droite parallèle à BC passant par M. Soit M2 un autre point sur cette droite, également intérieur au triangle. M se projette en K sur BC, M2 en K2. M se projette en L sur AB, M2 en L2. M se projette en H sur BC M2 en H2. Soit N la projection de M sur M2K2, N2 la projection de M2 sur ML. Je dis que les triangles MNM2 et M2N2M sont égaux (ils ont leurs trois angles égaux et un côté commun). Il en résulte que la somme des distances de M aux trois côtés : MH+MK+ML est égale à la somme des trois distances de M2 aux trois côtés M2H2+M2K2+M2L2.

Cela montre que si l'on se déplace parallèlement à un côté du triangle, la somme MK+MH+ML est constante. Comme on peut se déplacer de n'importe quel point à n'importe quel autre en suivant des trajets parallèles aux côtés du triangle, cela signifie que la somme est la même dans tout le triangle. En particulier, si le point M est en A, le point H est en I et les distance MK et ML sont nulles : cette somme est donc égale à MI.

[wurda]

Bon ! Trace la droite parallèle à BC passant par M. Soit M2 un autre point sur cette droite, également intérieur au triangle. M se projette en K sur BC, M2 en K2. M se projette en L sur AB, M2 en L2. M se projette en H sur BC M2 en H2. Soit N la projection de M sur M2K2, N2 la projection de M2 sur ML. Je dis que les triangles MNM2 et M2N2M sont égaux (ils ont leurs trois angles égaux et un côté commun). Il en résulte que la somme des distances de M aux trois côtés : MH+MK+ML est égale à la somme des trois distances de M2 aux trois côtés M2H2+M2K2+M2L2.

Cela montre que si l'on se déplace parallèlement à un côté du triangle, la somme MK+MH+ML est constante. Comme on peut se déplacer de n'importe quel point à n'importe quel autre en suivant des trajets parallèles aux côtés du triangle, cela signifie que la somme est la même dans tout le triangle. En particulier, si le point M est en A, le point H est en I et les distance MK et ML sont nulles : cette somme est donc égale à MI.

Monsieur, je vous remercie beaucoup. Merci du temps que vous avez passé à me répondre.