Aide exo d olympyade

[ooazertyoo]

calculez:
1+3+5+7+.......+2007
c un exo d'olympyade 2008 j'arrive pas a resoudre

[ooazertyoo]

voila un autre exo c iveau college
a b c nombres positifs
montrez que
8abc<(a+b)(b+c)(a+c)

[beagle]

calculez:
1+3+5+7+.......+2007
c un exo d'olympyade 2008 j'arrive pas a resoudre

tu connais l'astuce pour somme de 1 à n:
1+2+3+4+5+6+7
7+6+5+4+3+2+1
tu fais l'addition des deux lignes.

Il me semble faisable de séparer 1 sur 2 les pairs et les impairs
1+3+5+7
7+5+3+1
2+4+6
6+4+2
tu comptes les impairs seulement, non?

[Ben314]

[quote="ooazertyoo"]8abc4ab , (b+c)²>4bc , (a+c)²>4ac
puis à faire le produit.

[rico46]

1+3+5+7+9+11 = 36 (6 termes -> 6*6)
1+3+5+7+9+11+13 = 49 (7 termes -> 7*7)
1+3+5+7+9+11+13+15 = 64 (8 termes -> 8*8)

Nbre termes = (1+Xfinal)/2

donc la solution est

1+3+5+9+...+2007 = 1008016 soit 1004 termes

The optical website :
rico46.free.fr

[rico46]

1+3+5 = 9 (3x3)
1+3+5+7 = 16 (4x4)
1+3+5+7+9 = 25 (5x5)

Il suffit donc d'élever le nombre de termes au carré

Nbre termes = (dernier nombre +1) / 2
1+3+5 = (5+1)/2 = 3
1+3+5+7 = (7+1)/2 = 4
1+3+5+7+9 = (9+1)/2 = 5

donc pour
1+3+5+...+2007 = [(2007+1)/2]² = 1004² = 1008016

[Lostounet]

calculez:
1+3+5+7+.......+2007
c un exo d'olympyade 2008 j'arrive pas a resoudre

Moi pourtant, je trouve autre chose que toi rico:

Comme l'a montré Beagle. Soit à calculer 1 + 2 + 3... 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

En additionnant chaque deux nombres qui sont à la même place (le premier nombre de la deuxième ligne avec le premier de la première ligne, le second de la deuxième ligne avec le second de la première ligne..)
10 + 1 = 11
9 + 2 = 11
5 + 6 = 11
On trouvera toujours un 11.

Donc en 'sommant' les deux lignes, on est en train de faire
11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11
(11 représente deux nombres, l'un de la ligne d'en haut, l'un d'en bas.)
Donc en gros, on est en train de faire 11 * 10 = 110
(10 est le nombre termes à sommer !)

Ainsi, on divise le tout par deux parce que les deux lignes sont équivalentes et contiennent les même nombres. Comme on cherche ce que contient une seule ligne.

110/2 = 55

Or un petit calcul mental rapide permet de montrer que
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= 55 effectivement !

Quelqu'un pourrait-il confirmer cette méthode ?

[ooazertyoo]

1+3+5 = 9 (3x3)
1+3+5+7 = 16 (4x4)
1+3+5+7+9 = 25 (5x5)

Il suffit donc d'élever le nombre de termes au carré

Nbre termes = (dernier nombre +1) / 2
1+3+5 = (5+1)/2 = 3
1+3+5+7 = (7+1)/2 = 4
1+3+5+7+9 = (9+1)/2 = 5

donc pour
1+3+5+...+2007 = [(2007+1)/2]² = 1004² = 1008016

oué merci c ça

[beagle]

des n+1 impairs j'en ai (n+1)/2
et faut encore diviser par 2
donc (n+1)x(n+1)/2 à diviser par 2
donc (n+1)/2 au carré, cela marche.

[maxence6]

Lostounet: Or un petit calcul mental rapide permet de montrer que
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= 55 effectivement !

Quelqu'un pourrait-il confirmer cette méthode ?

Effectivement ça marche:
n
k = n(n + 1) / 2
1

On peut vérifier en prenant par exemple 1 + 2 + 3 + 4.
On va calculer le premier membre l'égalité qui est:

n
k = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
1

donc la on veut qu'il y est 4 termes donc

4
k = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
1

donc ensuite on calcule n(n + 1) / 2 pour vérifier l'égalité:
4(4 + 1) / 2 = 4 x 5 / 2 = 20 / 2 = 10

Et oui l'égalité est vrai :++:

donc ce que tu faisait en ajoutant les deux et tout ce résume dans cette formule.

Allé bonne continuation

[Sve@r]

Quelqu'un pourrait-il confirmer cette méthode ?

Confirmé. C'est effectivement comme ça qu'on calcule la somme des n premiers termes. Et comme t'aimes les fonctions, tu peux dire que f(x)=x(x+1)/2