Le "zéro complexe" vs le "zéro réel" (Oui, je parle de math

[Bastien L.]

Donc, si je comprends bien, cela reviendrait à dire que les nombres complexes de partie imaginaire nule sont l'ensemble des nombres de la forme (x+0i), x élément de , donc, l'ensemble des couples (x;0), c'est-à-dire, l'ensemble des réels, chacun étant associé au réel 0, et être associé à 0, ce n'est pas la même chose que n'être associé à rien du tout…?

[Skullkid]

Pas "associé", "couplé avec". Dans (x,0), la deuxième coordonnée est inutile d'un point de vue pratique car constamment nulle, c'est d'ailleurs pour ça qu'on se passe volontiers de l'écrire et qu'on désigne (x,0) par x. Mais le fait d'introduire cette deuxième coordonnée, qui n'est pas inhérente à , permet de passer à .

[Bastien L.]

Bonsoir!


D'accord, mais, qu'est-ce qui te fait dire que les nombres réels, donc, de dimension 1, écrits sous la forme , ne sont pas en vérité de la forme , donc, des nombres de dimension infinie, mais dont la partie correspondant à la dimension est nule pour tout ?

[leon1789]

Bonsoir!


D'accord, mais, qu'est-ce qui te fait dire que les nombres réels, donc, de dimension 1, écrits sous la forme , ne sont pas en vérité de la forme , donc, des nombres de dimension infinie, mais dont la partie correspondant à la dimension est nulle pour tout ?

Tu as le droit, en effet, d'associer 1 nombre réel à une suite stationnaire comme tu le dis. Mais ne cherche pas la vérité, cela n'a pas de sens...

[Skullkid]

Encore une fois, c'est une définition, rien de plus. En effet il y a aussi un isomorphisme entre et l'espace des fonctions réelles constantes (ce qui correspondrait à tes "nombres de dimension infinie"). Il y a une infinité d'espaces isomorphes à , et tous sont des façons différentes de voir , il n'y en a pas un qui est plus "réel" que l'autre.

[Bastien L.]

C'est problématique, tout de même: Soit on dit "Ce n'est pas la même chose, parce que ce n'est qu'une question d'isomorphisme, parce-que c'est comme ça.", Soit on dit "On peut très bien dire que est inclu dans , c'est tout-à-fait correct."…

S'il en est qui se refusent à considérer la seconde idée comme juste, alors il doit bien y avoir ne serait-ce qu'un exemple (même "tordu") mettant en valeur la non-égalité entre (1+0i) et 1, non?

[leon1789]

Au lieu de poser des questions sans arrêt, essaie de répondre à celle-ci (ainsi peut-être pourras-tu comprendre ce que tout le monde essaie d'expliquer...)

Pour toi, c'est quoi N, Z, Q, R et C ?
Merci.

[Bastien L.]

Pour moi, , , et , sont des sous-ensembles de , de plus en plus grands, et se contenant les uns les autres.

Quant à , c'est une extension algébrique de , dans deux dimensions au lieu d'une seule, non? Mais, après avoit dit ça, je n'ai pas encore tout dit. Je n'aurai bien répondu qu'après avoir compris le rapport entre l'ensemble des nombres de représentés par des points d'ordonnée 0 et , et, quand j'aurai compris cela, je ne serai plus en train de "poser des questions sans arrêt".

Enfin, de façon générale, ce que je pense, c'est que même si c'est historiquement intéressant à mettre sur le même plan, ainsi que pour introduire naturellement le cours, il n'est pas fondé de mettre sur le même plan les extensions successives entre , , et et celle entre et , car, jusqu'à présent, il n'y avait pas modification de la dimension, on ne faisait que dévoiler des parties de que l'on n'avait pas encore vues…

[Skullkid]

De à on passe d'une dimension 1 à une dimension infinie... Tu dis ça parce que tu es habitué à .

[Bastien L.]

Pardon? Je ne comprend pas…

[leon1789]

Quant à , c'est une extension algébrique de , dans deux dimensions au lieu d'une seule, non? Mais, après avoit dit ça, je n'ai pas encore tout dit. Je n'aurai bien répondu qu'après avoir compris le rapport entre l'ensemble des nombres de représentés par des points d'ordonnée 0 et , et, quand j'aurai compris cela, je ne serai plus en train de "poser des questions sans arrêt".

ben déjà, au lieu de vouloir passer de R à C, essaie de définir correctement (mathématiquement) N,Z,Q,R .

Pour moi, , , et , sont des sous-ensembles de , de plus en plus grands, et se contenant les uns les autres.

Mouais, c'est un peu limite comme définition :hum: tu ne peux pas être plus précis ?

Ainsi, pour dire ce que sont N,Z,Q, tu pars de R... Pas très fondé tout ça ! As-tu remarqué que, quand tu étais petit, on t'a appris à compter dans N avant tout ? (avant de balancer R... dix ans plus tard !)

A quoi bon couper les cheveux en quatre comme tu le fais si dès le départ, les choses sont aussi grossièrement définies. Essaie de bien préciser ce que sont les ensembles N,Z,Q,R,C ...

[Bastien L.]

Tes objections sont en effet cohérentes. Je n'ai pas le temps de faire cela ce soir, mais j'essaie de répondre demain…

Merci pour tout, bonne nuit!

[leon1789]

Pardon? Je ne comprend pas…

...et oui, si tu parles de dimension algébrique (as-tu une définition pour ça ???...) , sache qu'il y a plus >
entre Q et R (dimension infinie non dénombrable),
qu'entre R et les suites réelles (de dimension infinie dénombrable),
ou encore entre R et C (de dimension 2 seulement !)

[abcd22]

C'est problématique, tout de même: Soit on dit "Ce n'est pas la même chose, parce que ce n'est qu'une question d'isomorphisme, parce-que c'est comme ça.", Soit on dit "On peut très bien dire que est inclu dans , c'est tout-à-fait correct."*

On t’a dit qu’au contraire, quand deux objets sont canoniquement¹ isomorphes on considère en général que c’est la même chose.

S'il en est qui se refusent à considérer la seconde idée comme juste, alors il doit bien y avoir ne serait-ce qu'un exemple (même "tordu") mettant en valeur la non-égalité entre (1+0i) et 1, non?

Je n’ai vu personne refuser de considérer la seconde idée comme juste (puisqu’elle est juste mathématiquement).

Les deux points de vue que tu opposes sont exactement les mêmes, on peut considérer comme une partie de parce que, une fois qu'on suppose qu’on connaît , on construit à partir de de telle façon que soit canoniquement isomorphe à une partie de , et qu’on identifie à cette partie de , évidemment en terminale on ne peut pas dire ça en cours puisqu’on n’a pas vu les notions nécessaires.
Note que (comme leon te l’a fait remarquer) c’est exactement la même chose² lorsque l’on construit à partir de puis qu’on identifie à une partie de , lorsqu’on construit à partir de puis qu’on identifie à une partie de , et lorsqu’on construit à partir de et qu’on identifie à une partie de . Tu ne t’es juste jamais posé de question dans ces cas-là car au collège/lycée on dit juste que , , et existent sans expliquer formellement leur construction à partir d’ensembles plus petits comme on le fait pour .

¹ canoniquement ça veut dire que l’identification est «;)naturelle;)», comme avec et les complexes de partie imaginaire nulle, ou et les rationnels de dénominateur 1.
² pour les problèmes d’inclusion et tout ça, parce que les procédés de construction ne sont pas tous les mêmes.

[Imod]

Il me semble quand que tout ça tourne en rond depuis un moment . Mathématiquement ( ou axiomatiquement ) les ensembles de nombres sont construits dans l'ordre N , Z , Q , R , C Chacun n'étant pas un sur-ensemble de l'autre mais contenant une partie isomorphe au précédent ( pour toutes les opérations usuelles ) . Psychologiquement chacun à son seuil d'acceptabilité de ce qu'est un nombre , souvenons-nous de toutes les précautions prises à l'introduction des négatifs , acceptés comme de "vrais" nombres que depuis peu ( à l'échelle de l'histoire des maths ) .

Personnellement il m'a fallu deux ans pour admettre que i était vraiment un nombre comme les autres , je voyais aussi tous les nombres comme des sous ensembles de R . Chacun a une image mentale des nombres usuels et bien sûr nous savons tous que N est l'ensemble dont les éléments sont , , , ... et que représente R dans cette pyramide ???

Imod

[Bastien L.]

Est-ce que mon lagage approximatif ne nous aurait pas conduit à utiliser le mot "dimension" dans deux sens différents?

[Skullkid]

Non, on l'a utilisée dans le même sens. Si ce n'est que tu prends toujours comme point de départ, en maths on parle de la dimension d'un ensemble par rapport à un autre ensemble. La dimension de par rapport à est 2, mais celle de par rapport à est infinie. Or c'est bien en partant de qu'on a construit , et pas l'inverse.

Mais, comme l'a dit leon, tu comprendras peut-être mieux en essayant de construire les grands ensembles de nombres à partir de leur prédécesseur : ne connaissant que , comment définir ?

[Bastien L.]

Bonsoir!


Merci pour vos réponses riches. Il faut que je m'y penche sérieusement... et que j'en parle avec notre professeur... (Dans l'immédiat, je suis gêné par l'impression que j'ai qu'on fasse comme si les nombres s'organisaient dans des ensembles qui correspondent aux différentes étapes de leur découverte par l'homme...)

[leon1789]

Bonsoir!
Merci pour vos réponses riches. Il faut que je m'y penche sérieusement... et que j'en parle avec notre professeur... (Dans l'immédiat, je suis gêné par l'impression que j'ai qu'on fasse comme si les nombres s'organisaient dans des ensembles qui correspondent aux différentes étapes de leur découverte par l'homme...)

Tu as raisons de t'intéresser : les constructions "actuelles" de (N,) Z, Q, R, C sont formatrices. Elles témoignent de la nécessité d'avoir des bonnes propriétés algébriques et analytiques. :zen:

[Bastien L.]

Merci. Je suis de ceux qui pensent que les mathématiques partent de l'esprit pour se poser sur les objets extérieurs, et non l'inverse, mais, malgré cela, je trouve trop égocentrique que de considérer que les ensembles , , , , existent indépendemment les uns des autres, et ne présentent que de l'isomorphisme pour certains éléments, car on les a imaginés les uns après les autres, historiquement. En effet, si on avait découvert qu'il y a un ensemble de nombre transcendants, ou un ensemble de nombres pairs, ou un ensemble de nombres d'euler, etc., etc., les aurait-on nommés de même que les autres, précédemment, et aurait-on décrété qu'ils n'étaient pas contenus les uns dans les autres, ou dans ? J'ai le sentiment que ce que l'on dit sur , , , est aussi arbitraire que sur si l'on disait: "Tiens! Tous les nombres dont le chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8 sont divisibles par 2! Donc il existe un ensemble T de ces nombres là. et T présentent un isomorphisme canonique pour certains éléments, mais, attention, 2 de et 2 de T ne sont pas la même chose; c'est une histoire d'isomorphisme.". Voilà pourquoi, quelles que soient les méthodes rigoureuses de construction de , , , , je pense que les trois premiers ne sont que des parties du dernier, tantôt incluses les unes dans les autres, tantôt non. Je pense que l'homme a d'abord saisi que l'on pouvait mesurer avec les nombres, et que donc il a créé la droite des réels, même s'il ne l'a complétée qu'au fur et à mesure de son existance.
Pour et , en revanche, c'est différent: on passe de la droite au plan… Donc, il n'est pas impossible qu'il y ait autre chose à voir… C'est la distance que je voulais prendre par rapport à un point de notre démarche: nous avons réfléchi à ce qu'il se passe entre et en pensant (parfois) à ce qu'il se passe entre et , et… voilà…