Le "zéro complexe" vs le "zéro réel" (Oui, je parle de math

[Imod]

Mais >, je le vois partout tous les jours : prix affichés, plan de construction, quantités minérales sur les bouteilles d'eau, statistiques, etc... Je n'ai jamais vu ni .

Chaque fois que je regarde un carré unité je vois et si je coupe un segment unité en trois parties égales je vois :zen:

Imod

[abcd22]

Pourtant, il me semble que les résultats de la mécanique quantique sont justes, mais ils ne sont pas cohérents pour énormément de personnes.

Tout ce qui est juste n'est pas forcément cohérent.
La cohérence disparait au-delà d'un certain domaine de validité.

Tu ne veux pas dire plutôt « intuitif » ou quelque chose de ce genre au lieu de « cohérent » ? S'ils n'étaient pas cohérents ça voudrait dire que ce qu'ils prédisent contredit d'autres théories physiques, ou qu'ils prédisent des choses contradictoires...

[leon1789]

Chaque fois que je regarde un carré unité je vois et si je coupe un segment unité en trois parties égales je vois :zen:

Imod

Tu les vois réellement, ou tu les penses "imaginairement" ?

[leon1789]

Chaque fois que je regarde un carré unité je vois et si je coupe un segment unité en trois parties égales je vois :zen:

Imod

Tu vois et , ou tu les penses ?

[leon1789]

Chaque fois que je regarde un carré unité je vois et si je coupe un segment unité en trois parties égales je vois :zen:

Imod

Un carré unité est une perfection qui n'existe pas.
Couper un objet exactement en 3 est une vue de l'esprit : il y a toujours une part plus grosse que les autres quand je coupe une tarte, et mon estomac le sait :zen:

[Doraki]

Bah dans la vie on aime surtout faire des comparaisons rapidement et savoir si un nombre est positif ou négatif.
Déterminer le signe de 3*ln(2) - racine(pi), c'est dur,
celui de +0.307..., c'est facile.
Et puis des fois on peut pas être assez précis pour répondre à la question..

Et puis tout ce qui est cohérent est juste.
Quant à vouloir savoir ce qui est "vrai".... c'est dangereux.

[farator]

Tu ne veux pas dire plutôt « intuitif » ou quelque chose de ce genre au lieu de « cohérent » ? S'ils n'étaient pas cohérents ça voudrait dire que ce qu'ils prédisent contredit d'autres théories physiques, ou qu'ils prédisent des choses contradictoires...

Oui intuitif serait peut-être mieux approprié
D'un autre côté, on ne peut pas dire que les résultats de l'expérience du chat de Schrödinger soient très cohérents... Mais pourtant, elle aboutit à des théories qui sont justes, au moins dans leur domaine de validité !

D'ailleurs, si on prend la fonction d'onde psi, l'électron peut avoir un spin vers le haut (psiA) ou vers le bas (psiB). Si on mesure, on trouve soit l'un, soit l'autre, et après la mesure l'électron reste dans cet état : Réduction du paquet d'onde.
Pourtant, le mélange des deux existe aussi : psi = (psiA + psiB)/(racine2)
Cette fonction peut paraître incohérente avec ce qui a été dit plus haut, puisque l'électron peut ici avoir à la fois un spin orienté vers le haut et un vers le bas !

Après, je pense que c'est le cadre dans lequel on se place qui est primordial ...

En physique, on ne peut jamais dire qu'une théorie ou un modèle est "juste".

On peut simplement dire que "Dans l'état actuel de nos connaissances, telle théorie ou tel modèle et celui ou celle qui "colle" le mieux aux observations"

Oui je suis d'accord. Quand on dit "juste" on entend pas forcément vérifié, mais en tout cas corroboré. Mais ce qui est juste est juste, en tout cas pour l'instant. Ceci quand on se place dans un cadre Poppérien.

Mais en y réfléchissant, plus ça va et plus je deviens adepte des théories de Thomas Kuhn. Les sciences évoluent de manière paradigmatique ! Il y a des périodes de science normale, avec un paradigme dominant, et puis hop tout à coup on change, brutalement, difficilement, douloureusement de paradigme. Par exemple le passage de la gravitation newtonienne à la relativité

Enfin bon, moi ce que j'en dis hein ...

[Bastien L.]

Bonjour à tous!


J'observe que cette discussion a dévié, ce qui m'inquiète un peu, non pas que les thèmes abordés ne soient pas aussi passionnants que le problème de départ, mais nous savons par expérience que si nous nous laissons complètement aller nous n'aurons plus aucune chance de revenir à un moment ou à un autre sur nos histoires d'ensembles…

Cependant, quelqu'un a demandé des exemples appelant à une distinction formelle entre cohérence et justesse (et non "justice"). Avant de passer à l'exemple, je dirai qu'il me semble qu'une thèse cohérente est une thèse qui n'est pas réfutée par une partie d'elle-même, et qu'une thèse juste (dans l'absolu ou dans un domaine) est une thèse qui n'est pas réfutée d'aucune manière (dans l'absolu ou dans un domaine). J'aurais tendance à réserver aux seules thèses réfutables le droit de prétendre à la justesse, et en revanche à accepter de dire d'une thèse non réfutable (donc du domaine de la croyance) qu'elle est cohérente. Mais là je ne suis pas sûr.
Mais surtout je me rends compte au moment même je frappe que cela n'est qu'un aperçu de la chose. En effet, on peut être cohérent par rapport à soi-même ou à autre chose, etc.

Bon, allez, par exemple: Vous avez le droit de ne pas croire en les théories de Freud, même s'il n'y a rien à l'intérieur d'elles-mêmes qui les empêcherait d'être juste. De même pour la théorie des contraires de Socrate. Ou encore pour la thèse linguistique qui prétendait que la langue n'est qu'un système en perpétuelle dégradation, et que, donc, pour réfléchir dessus, il faut réfléchir sur sa langue mère, ou, encore mieux, sur la langue mère de la langue mère, en remontant aussi loin que possible; en effet, "Quoi de plus logique que d'étudier un champ de ruines par rapport au plan de la citée qui s'y trouvait autrefois?". C'est cohérent, mais ça fait bien longtemps que plus personne ne suit cet avis là (du moins, à ce que j'en sais)! Allez, un cas trivial: "Je suis le chef de l'humanité donc j'ai le droit de vie ou de mort sur vous.". C'est cohérent, non? Pourtant, c'est faux. C'est réfuté par des éléments extérieurs à la thèse même.

Grosso modo, ici, j'ai tendance à dire "incohérent" "absurde", mais je suis conscient que c'est loin d'être satisfaisant, comme réponse! Ca appelle à plus de réflexion et des dialogues, mais, s'il-vous-plaît, j'aimerais qu'on fasse ça dans une autre discussion, si vous y tenez… Pour préserver celle-ci…




Quand à ceci:

Mais puisqu’on te dit que dans la pratique (c’est-à-dire tout le temps sauf quand on définit les objets en question et les inclusions (isomorphismes avec une sous-partie si tu y tiens…) avec) on identifie sans se poser plus de questions et que cette identification est tout à fait justifiée mathématiquement, pourquoi tiens-tu à rajouter de la complexité;)?

…je répondrai que mon immense plaisir en T.S. c'est de faire enfin un semblant de "vraies" maths, des maths pour des mahs, des réflexions désintéressées et non limitatives, quoique finalement, avec du recul, au combien utiles!… Donc, je ne suis pas désireux d'en terminer le plus viter possible! Ainsi que je l'ai écrit dès le premier message, je me suis douté que ce n'était pas obligé, de se poser cette question, pour passer le bac! ^^



Voilà!

À plus tard, bonne nuit!

[farator]

Bon, allez, par exemple: Vous avez le droit de ne pas croire en les théories de Freud, même s'il n'y a rien à l'intérieur d'elles-mêmes qui les empêcherait d'être juste.

Il n'y a rien, strictement rien chez Freud qui permet de prouver scientifiquement qu'il a raison et que ses théories sont justes. Les phénomènes biologiques n'arrivent pas à expliquer l'inconscient ni la psychanalyse. C'est ce qui fait tout le génie de Freud.

C'est le problème des qualias : Comment expliquer que des structures biologiques soient à l'origine de fonctions hors du temps et de l'espace ?

Et si on ne peut pas démontrer les théories de Freud, on ne peut pas décrire l'existence même de la conscience, et encore moins celle de l'inconscient !
La théorie computationnelle de l'esprit de Fodor a été magistralement détruite par l'expérience de La Chambre Chinoise de Turing. Impossible de définir une conscience.

Même si l'inconscient peut s'étudier de manière synchronique, ou diachronique, même si on peut démontrer son existence, on ne sera jamais sûr de son fonctionnement, dont les sources mystérieuses resteront pour l'éternité aux confins du somatique et du psychique. :blah: ^^


Bref, mauvais exemple que tu as pris là je crois !

[Jak]

Bonjour

Je viens de relire entièrement la discussion, et il me semble que, comme dit précédemment, elle dérive légèrement de son objectif... Même si, toutefois, elle n'en est pas moins intéressante.
D'après mes souvenirs, le problème était la définition des ensembles les uns par rapport aux autres: j'ai bien peur de répéter ce qui a été dit plus tôt, mais tant pis, je serai au moins parfaitement éclairé a ce sujet.

J'ai vu dans ce que vous avez dit, deux thèses bien distinctes sur les ensembles:

-la première, c'est que les ensembles seraient comme des calques superposés les uns sur les autres, qui débute par C, puis R, ..., et enfin N (ou l'inverse, je ne m'attarde pas sur ce détail). Chaque calque aurait alors des similitudes avec celui qu'il précède, mais serait indépendants les uns des autres. Ils auraient des nombres qui se superposeraient parfaitement, qui seraient donc comparables, mais, qui n'auraient pas la même nature. Par exemple, le "racine de 2" (excusez, je ne sais pas encore me servir des symboles) de R serait superposé au "racine de 2" de C, mais n'auraient pas la même nature, a cause de leurs appartenances a deux ensembles distincts.

-la seconde, c'est qu'il y aurait un ensemble majeur, qui regrouperait tous les autres sous ensembles; d'après mes connaissances de TermS, ce serait C, qui regrouperait tous les autres, comme le schéma simpliste qui consiste à représenter les ensembles les uns imbriquer dans les autres, N, dans Z, lui même dans Q, lui même dans R, le tout dans C. On aurait donc ici, si je comprend bien, un nombre dans un ensemble donné, qui appartiendrait forcement a un autre ensemble supérieur ou égal. Pour reprendre le même exemple que dans la première thèse, "racine de 2" qui appartient initialement à R, appartiendrait pour le coup également a C, et ce serait bien un seul et même nombre.

Vous vous demandez peut être ou je veux en venir...

Et bien, pour savoir si le zéro de R et le zéro de C sont le même zéro ou s'il s'agit de deux nombre disons différent, il faut d'abord choisir quelle thèse vous voulez appliquez au ensembles.

Pour ma part, je crois en la seconde thèse, car elle est plus plausible a mes yeux. Le zéro est, pour moi, le même qu'il soit dans Q ou qu'il soit dans R, car il est représenter dans C, ensemble qui regroupe selon moi, tous les autres.

Veuillez m'excuser des fautes de frappes, d'expression, ou tout autres choses, je ne fais que débuter... Peut être ai-je dit une formidable erreur dans ces paragraphes, mais il me semblait judicieux d'aborder de point...
A bientôt!

[Skullkid]

Bonsoir, j'ai juste survolé la discussion, mais il ne s'agit pas de "croire" en l'une ou l'autre de ces "thèses". Ce sont juste deux façons de voir les ensembles (comme l'a déjà expliqué SimonB je crois).

Les ensembles de nombres successifs ont été construits grosso modo pour faciliter les calculs. Si mes souvenirs sont bons, les complexes firent leur première apparition car ils permettait, si on supposait leur existence, de trouver des solutions réelles à des équations du troisième degré. Mais il n'y avait alors pas de formalisme qui définissait clairement ce qu'étaient ces nombres et quelles étaient leurs propriétés. Donc, pour pouvoir travailler convenablement avec, il fallait définir . Et un moyen de bien le définir c'est de le construire à partir de .

On peut définir comme étant (l'ensemble des couples de réels) muni d'une addition et d'une multiplication particulières :

(a,b) + (c,d) = (a+b,c+d)
(a,b) * (c,d) = (ac-bd,ad+bc)

On se rend compte alors que le nombre (x,0) se comporte exactement de la même façon que le réel x : l'ensemble des (x,0) est une copie de qui est incluse dans , donc ça ne fait aucune différence de travailler sur les réels x ou sur les couples (x,0) dans .

Après, cette construction sert juste à poser clairement les règles de calcul sur les complexes. Au lieu de s'embêter à calculer avec des couples, on pose (a,b) = a*(1,0) + b*(0,1), on désigne (1,0) par 1 (car il se comporte exactement comme le 1 réel), on désigne (0,1) par i et on retombe sur le qu'on connaît.

Au niveau structurel, rien ne permet de différencier de sa copie, ils ont juste un "aspect" différent. Toutes les extensions successives de à se font sur ce principe (si ce n'est qu'elles font appel à des outils mathématiques un peu plus élaborés). Après, rien ne t'empêche de rebaptiser l'ensemble des couples (x,0)...

[leon1789]

J'ai l'impresion (mais c'est peut-être parce que je ne comprends pas tout) que cette discussion sur > tourne en rond depuis un certain temps... J'ai l'impression que bcp d'entre nous (tous ?) sont d'accord sur le fait que cela dépend de la manière dont on voit/comprend/manipule/imagine/définit les nombres...

On peut définir comme étant (l'ensemble des couples de réels) muni d'une addition et d'une multiplication particulières :

(a,b) + (c,d) = (a+b,c+d)
(a,b) * (c,d) = (ac-bd,ad+bc)

Est-ce vraiment comme ça que C a été inventé ? J'en doute fort ! Un petit "générateur" a+i.b avec la relation a l'air très bien, non ?

On pourrait continuer : est-ce que le 0 des fractions rationnelles de Q(X) est le même que le 0 de Q ? Q(X) est-il un sous-ensemble de R ?

[ffpower]

Q(X) sous ensemble de R,la ca devient violent.ya plus rien de canonique..

[SimonB]

Bonsoir, j'ai juste survolé la discussion, mais il ne s'agit pas de "croire" en l'une ou l'autre de ces "thèses". Ce sont juste deux façons de voir les ensembles (comme l'a déjà expliqué SimonB je crois).

Exactement. Il ne s'agit pas de croire. Certains domaines des mathématiques peuvent se rapprocher de la philosophie ; pas ici...

[Skullkid]

Est-ce vraiment comme ça que C a été inventé ? J'en doute fort ! Un petit "générateur" a+i.b avec la relation a l'air très bien, non ?

Certes, d'où mon emploi du verbe pouvoir. J'ai utilisé cette définition parce qu'elle était assez simple mais en même temps suffisamment formelle pour bien voir qu'il n'y a, si on veut être hyper rigoureux, pas d'inclusion réelle entre les deux ensembles. C'est toujours le même problème du "unique à isomorphisme près"...

A-vrai-dire j'ignore comment a été "proprement" défini pour la première fois.

[leon1789]

Certes, [...]"unique à isomorphisme près"...

d'accord :id:

[Bastien L.]

Bonjour à tous,


J'espère que vous allez bien depuis ces derniers jours. Je souhaiterais réagir sur un point particulier.

On fait souvent le schéma des extensions successives de à en expliquant qu'à chaque fois, par besoin de résoudre des équations insolubles dans les domaines connus, on était forcé d'en inventer un "plus grand".

En vérité, il me semble que le passage de à est autre chose que le passage de à !

En effet, l'homme a d'abord remarqué que son environnement était "mesurable", tantôt en nombre d'objets, tantôt en grandeurs (longueurs, etc.), et a donc inventé la droite des réels, qu'il a certes complétée au fur et à mesure de son avancée intellectuelle. Mais je ne crois pas, finalement, qu'il y ait réellement lieu de se poser la question: "Le 0 de est-il le même que celui de ?", mais qu'il est bon de considérer à part le cas du changement de dimensions à .


Sinon, je constate que personne n'a défini très précisément les notions d'isomorphisme, d'homéomorphisme, et expliqué en quoi des éléments isomorphes ou homéomorphes n'étaient pas identiques…

[Skullkid]

Si personne n'a défini ces notions, je pense que c'est pour ne pas tomber dans trop de formalisme, et puis il aurait fallu définir les notions d'espace vectoriel, de corps, de relation d'équivalence, d'espace quotient...

Un isomorphisme est une fonction qui va d'un espace dans un autre et qui vérifie certaines propriétés (bijectivité et conservation de la structure). et sont isomorphes, mais ils ne sont clairement pas égaux, et aucun n'est inclus dans l'autre. Dire que deux espaces sont isomorphes ça signifie qu'ils ont exactement la même structure, ie que tout se passe exactement de la même façon dans l'un comme dans l'autre, mais ça n'empêche pas ces ensembles d'être de nature différente.

[Bastien L.]

Bonsoir Skullkid,


Merci pour ta réponse. Elle m'intéresse.

Si personne n'a défini ces notions, je pense que c'est pour ne pas tomber dans trop de formalisme, et puis il aurait fallu définir les notions d'espace vectoriel, de corps, de relation d'équivalence, d'espace quotient...

Si c'est vraiment nécessaire pour donner tout son sens à cette discussion, alors le seul motif pour ne pas le faire est, je pense, le manque de temps à consacrer à cela de la part des personnes les plus qualifiées… Mais pas que que la chose ne soit pas intéressante…

Quant à ton second paragraphe, j'ai la vague intuition qu'il est pertinent, mais je reste sur une intuition… Pourrais-tu (si tu en as le temps, bien entendu, éternel problème…) développer suffisemment pour que ce soit convaincant?

Pour l'instant, je me demande si on ne confond pas différence de fonctions et différences de nature (même structure, même nature, mais volontés de significations différentes, non pas qu'elles s'opposent, mais qu'elles ne recouvrent pas exactement les mêmes domaines…)…

[Skullkid]

Je comprends pas trop ton objection, mon second paragraphe n'avait pour but que d'exhiber deux espaces isomorphes sans être égaux. Quand je dis que ces deux ensembles sont de nature différente, ça me semble clair : l'un est un ensemble de réels, l'autre un ensemble de couples de réels. Cela fait que le zéro du premier (le réel 0) n'est pas de même nature que le zéro du second (le couple (0,0)).

J'ai comme l'impression qu'on tourne en rond ^^