Le "zéro complexe" vs le "zéro réel" (Oui, je parle de math

[Bastien L.]

J'aimerais bien savoir dans un premier temps ce que pense SimonB de l'usage que j'ai fait de sa synthèse, et, ensuite, ce qu'en pensent les autres (sauf si SimonB est allé dormir… ^^)

[Imod]

J'ai juste survolé les différentes réponses mais si j'ai bien compris le problème est de trouver une distinction entre une inclusion et un isomorphisme avec une partie . Je ne suis pas vraiment au fait du problème mais il me semble que cela relève de la théorie des catégories et si on s'interroge un tout petit peu l'ensemble des mathématiques relève de ces identifications que l'on perd assez vite de vue quand on est confronté aux problèmes pratiques .

Les mathématiques s'occupent bien plus des relations entre les objets que de leur nature !

Imod

[Bastien L.]

Puisqu'à l'heure qu'il est il est bon de fixer la conversation avant d'aller prolonger le raisonnement en songes, je me permets d'écrire les leçons que j'en tire, pour l'instant par rapport aux soucis précis qui m'ont amené à créer cette discussion très étendues.

Le problème était très vite énoncé: "Le zéro réel et le zéro complexe sont-ils confondus ou non, et pourquoi?".

À un moment donné, vers le milieu, je me suis dit: "Finalement, répondre oui à cette question a la même fausseté que de dire que la multiplication de l'entiers relatif -2 par l'entier relatif -5 est égale à l'entier naturel 10".

Ensuite, je me suis rendu compte de ce qu'on ne dit jamais ça, en vérité, on dit juste que l'entier relatif resultat du-dit produit est le correspondant relatif du naturel 10.

Première conclusion, donc, mais à caractère tout-à-fait provisoire, au problème initial: le 0 de et le 0 de ne sont pas les mêmes, mais se correspondent.

Ce qui ne m'empêche pas de dire éventuellement: "Ok pour ce rapport entre le complexe (1+0i) et le réel 1, mais le nombre (d'abord, en est-il vraiment 1) 0, qui est si particulier, et si, lui, il était le point de rencontre de tous les "degrés" d'ensemble?" :marteau: (Bon, là, j'exagère un peu… Mais il faut bien… ^^)




:dodo: Non, je ne suis pas comme ça maintenant, mais je risque de l'être demain en cours de maths! Enfin, pas forcément, mais dans des cours moins intéressants… Bref, bonne nuit à tous, merci pour cette journée passionnante! Bonne continuation!

[Imod]

L'entier relatif +1 est-il confondu avec l'entier naturel 1 ?

Imod

[SimonB]

Pour répondre vite (et après, au lit) : oui, je pense que c'est à peu près ce que je voulais dire.

Cependant, pour approfondir le sujet et vraiment bien le confondre, je pense que tu devrais te plonger (sans mauvais jeu de mot pour les initiés :ptdr: ) dans les constructions d'ensembles, telle celle que j'ai vite fait décrite plus haut.

[Charles D.]

c'est dingue toutes ces élémentarité dont on se sert sans le savoir ce qui les rends si dures à démontrer. Merci vous avez éclairé Bastien et vous m'avez apporter les arguments pour soutenir mon intuition je jetterai un oeil aux construction d'ensemble sur wikipédia (oui j'ai (presque) foi en wikipédia).

[SimonB]

Dans le genre des "élémentarités" : essayez donc de vous demander ce qu'est , pour voir... , je veux bien, , on peut le concevoir, encore... Mais ? Kekseksa ?

[Bastien L.]

Sans prétendre en expliquer la construction, si je devais dire ce qu'est , je l'envisagerais comme l'ensemble de tous les nombres pouvant servir à mesurer, tous les nombres ayant une valeur…

Je reviens sur notre synthèse: elle est cohérente et suffisante, probablement, mais elle fait peur: quel sens auraient des phrases comme " est dense dans .", et "Nous avons démontré que la propriété est vraie dans , donc elle l'est dans ." (je pense à l'arithmétique…)? La seconde ne pourrait plus être prouvée par "Quel que soit a de , alors a appartient à .", mais par une propriété générale comme "Toute propriétée s'appliquant à tous les éléments d'un ensemble Y obtenu par une ou plusieurs extension(s) algébriqu(s) (successives) de X s'applique aussu à tous les éléments de X? Et la première devrait alors être dîte ainsi: "Il existe dans un ensemble dense de "correspondants" aux éléments de ."?

[leon1789]

Sans prétendre en expliquer la construction, si je devais dire ce qu'est , je l'envisagerais comme l'ensemble de tous les nombres pouvant servir à mesurer, tous les nombres ayant une valeur…

Pour moi, naïvement, cette définition correspond aux décimaux : je n'ai jamais mesuré que des nombres décimaux, pas encore , et encore moins .

[leon1789]

Dans le genre des "élémentarités" : essayez donc de vous demander ce qu'est , pour voir... , je veux bien, , on peut le concevoir, encore... Mais ? Kekseksa ?

est (naïvement par exemple) l'ensemble des nombres s'écrivant >. C'est bien comme ça qu'on envisage quand on est au collège et lycée, non ?

[leon1789]

Ce serait plutôt "cohérent", je pense! Et "cohérent" n'équivaut pas à "juste". Le second implique le premier, mais ce n'est pas réciproque. Une théorie scientifique peut être réfutée soit par elle-même soit par d'autres. Une religion peut être cohérente, ce n'est pas pour autant qu'on est forcé d'y croire…

là, je suis un peu largué : être "cohérent" j'imagine comprendre, mais c'est quoi être "juste" ? Est-ce liée à la "justice", régie par des lois locales, et donc complètement subjectives ? des exemples please.

[Charles D.]

diagonale d'un carré de coté 1 ou perimetre d'un cercle de rayon 1, ils sont peut-être irréalistes mais ils sont tout à fait mesurable du moment que l'on a des appareils à 100% de précision, je te l'accorde c'est inexistant. Disons que l'ensemble de reels peuvent tous exprimer une distance dans un plan, ça doit être pas si mal.

[Charles D.]

là, je suis un peu largué : être "cohérent" j'imagine comprendre, mais c'est quoi être "juste" ? Est-ce liée à la "justice", régie par des lois locales, et donc complètement subjectives ? des exemples please.

Etre juste, c'est être veridict, vrai (à quelques nuances de sens près)
Tu as du entendre des gens dire "c'est juste" en regardant tes devoirs par exemple. Tout ce qui est juste est cohérent, mais pas l'inverse.

[leon1789]

Etre juste, c'est être veridict, vrai (à quelques nuances de sens près)
Tu as du entendre des gens dire "c'est juste" en regardant tes devoirs par exemple. Tout ce qui est juste est cohérent, mais pas l'inverse.

j'aimerai un exemple de chose cohérente, mais pas vraie ou pas juste ? (...dont on soit certain que ce n'est pas vrai !)

[abcd22]

Je reviens sur notre synthèse: elle est cohérente et suffisante, probablement, mais elle fait peur: quel sens auraient des phrases comme " est dense dans .", et "Nous avons démontré que la propriété est vraie dans , donc elle l'est dans ." (je pense à l'arithmétique…)? La seconde ne pourrait plus être prouvée par "Quel que soit a de , alors a appartient à .", mais par une propriété générale comme "Toute propriétée s'appliquant à tous les éléments d'un ensemble Y obtenu par une ou plusieurs extension(s) algébriqu(s) (successives) de X s'applique aussu à tous les éléments de X? Et la première devrait alors être dîte ainsi: "Il existe dans un ensemble dense de "correspondants" aux éléments de ."?

Mais puisqu’on te dit que dans la pratique (c’est-à-dire tout le temps sauf quand on définit les objets en question et les inclusions (isomorphismes avec une sous-partie si tu y tiens…) avec) on identifie sans se poser plus de questions et que cette identification est tout à fait justifiée mathématiquement, pourquoi tiens-tu à rajouter de la complexité;)? Oui, il y a plein d’abus de langage et d’identifications partout en mathématiques, sans ça les notations seraient un fouillis incompréhensible (par exemple le «;)+;)» de l’addition de deux fonctions définies sur n’a rien à voir avec le «;)+;)» des nombres réels, et ce n’est pas pareil non plus que le «;)+;)» des fonctions définies sur [0, 1]…;); et la fonction «;)1;)», ce n’est pas du tout la même chose que le nombre «;)1;)» non plus…), et en plus ça n’apporterait rien de plus (si on en a vraiment besoin on peut toujours revenir aux isomorphismes explicites, c’est inutile de le faire sinon).

[Imod]

Pour moi, naïvement, cette définition correspond aux décimaux : je n'ai jamais mesuré que des nombres décimaux, pas encore , et encore moins .

Les décimaux sont complètement artificiels car liés à notre système de numération . On comprend le malaise de Pythagoriciens quand ils ont découvert l'irrationnalité de , pour cette école tout est nombre et voilà un nombre ( une longueur ) qui n'en est pas un :doh:

Imod

[Sve@r]

diagonale d'un carré de coté 1 ou perimetre d'un cercle de rayon 1, ils sont peut-être irréalistes mais ils sont tout à fait mesurable du moment que l'on a des appareils à 100% de précision, je te l'accorde c'est inexistant.

Non - La diagonale d'un carré de coté 1 n'a pas de mesure possible et aucun appareil, quelle que soit sa précision, ne te donnera la réponse. Et c'est là où les mathématiques rejoignent la physique car l'impossibilité de construire un tel appareil est démontrée par le principe d'incertitude de Heinsenberg.
Tout ce qu'il t'es possible de faire, c'est de mesurer une valeur approchée de cette diagonale...

[leon1789]

Les décimaux sont complètement artificiels car liés à notre système de numération . On comprend le malaise de Pythagoriciens quand ils ont découvert l'irrationnalité de , pour cette école tout est nombre et voilà un nombre ( une longueur ) qui n'en est pas un :doh:

Imod

Ok, cela provient du système de numération en base b.

Mais >, je le vois partout tous les jours : prix affichés, plan de construction, quantités minérales sur les bouteilles d'eau, statistiques, etc... Je n'ai jamais vu ni .

Je réagissais à ce message

Sans prétendre en expliquer la construction, si je devais dire ce qu'est , je l'envisagerais comme l'ensemble de tous les nombres pouvant servir à mesurer, tous les nombres ayant une valeur…

parce que, effectivement, je ne vois pas la valeur des nombres irrationnels. Au mieux, pour les réels comme on les définit en maths, j'imagine des choses idéales, permettant un discours cohérent et précis. Mais rien de "vrai" !

[farator]

Etre juste, c'est être veridict, vrai (à quelques nuances de sens près)
Tu as du entendre des gens dire "c'est juste" en regardant tes devoirs par exemple. Tout ce qui est juste est cohérent, mais pas l'inverse.

Einstein ne pouvait pas supporter les modèles de Bohr, les incertitudes de Heinsenberg. "Dieu ne joue pas aux dés". Pourtant, il me semble que les résultats de la mécanique quantique sont justes, mais ils ne sont pas cohérents pour énormément de personnes.

Tout ce qui est juste n'est pas forcément cohérent.
La cohérence disparait au-delà d'un certain domaine de validité.

[Black Jack]

Einstein ne pouvait pas supporter les modèles de Bohr, les incertitudes de Heinsenberg. "Dieu ne joue pas aux dés". Pourtant, il me semble que les résultats de la mécanique quantique sont justes, mais ils ne sont pas cohérents pour énormément de personnes.

Tout ce qui est juste n'est pas forcément cohérent.
La cohérence disparait au-delà d'un certain domaine de validité.

En physique, on ne peut jamais dire qu'une théorie ou un modèle est "juste".

On peut simplement dire que "Dans l'état actuel de nos connaissances, telle théorie ou tel modèle et celui ou celle qui "colle" le mieux aux observations"

:zen: