Le "zéro complexe" vs le "zéro réel" (Oui, je parle de math

[Bastien L.]

Cher SimonB,


Dans ton intéressant message de 15h20, je n'ai pas entièrement compris ceci:

-comme un ensemble construit certes à partir de l'ensemble de départ, qui n'est pas formellement parlant un sur-ensemble de celui de départ. Par exemple pour \mathbb{Q} : formellement, dans la façon classique (la seule que je connais à vrai dire) de le construire, \mathbb{Z} n'est pas vraiment inclus dans \mathbb{Q} : on construit les fractions d'éléments de \mathbb{Z} (où le dénominateur est non nul quand même...) à partir d'une relation d'équivalence ad hoc. Et après, on identifie \mathbb{Z} à l'ensemble des nombres qui s'écrivent \frac{n}{1}, où n est lui-même un entier relatif ! C'est la vision du bâtisseur "aveugle" de l'ensemble, celle qu'aurait une machine qui ne voit pas pourquoi on a construit ledit ensemble.

Comme c'est une partie centrale de ton discours, avant de réagir, j'aimerais te demander, si tu en as le temps, d'expliquer juste un peu plus pour qu'un élève de T.S. (spécialité maths, je précise, aux cas où ça aiderait) puisse bien comprendre?



Merci beaucoup!

[Imod]

Bonsoir tout le monde :we:

Les thèmes abordés sont plus subtils qu'ils en ont l'air mais sont en fait de faux problèmes qui perdent leur sens si on retourne aux sources . Si on revient à la construction de à partir de , ou à partir de on voit bien que les nouveaux ensembles contiennent une copie isomorphe au précédent et qu'on peut alors identifier à un sous-ensemble de et à un sous-ensemble de ... . Le zéro de , ... , , , est-il le même ?

Une remarque est un espace vectoriel sur lui même , écrit-on ?

Imod

[Charles D.]

Imod synthétise bien tout ce qui a été dit de façon clair. Mais la question est toujours la :triste:

[Bastien L.]

Pas vraiment, il présente une thèse cohérente que d'autres ont déjà présentée (y compris moi-même)… Mais "cohérence" ne signifie pas forcément "justesse".

La thèse adverse, à savoir, si j'ai bien compris, que les ensembles , , , , , n'ont aucun réel lien d'inclusion mais présentent juste certains de leurs éléments respectifs ayant les mêmes propriétés vis à vis de certaines lois, est toujours présente… En tous cas, il apparaît que si l'une est juste, l'autre peut difficilement l'être aussi…

Mais, tout de même, je vois mal comment cette thèse "adverse" pourrait survivre aux arguments que nous avons évoqués! En effet, historiquement, c'est la finalité même de la création de l'ensemble des nombres complexes que de permettre de trouver des solutions dans à partir de calcul sur des éléments qui ne sont pas de cet ensemble !
Ainsi, si on réfute la thèse résumée par Imod, on réfute à peu près tout ce qu'on amené les nombres complexes dans la résolution d'équations dans , ça fait beaucoup…
Je vous demanderai même si, d'accepter la thèse qui refuse l'inclusion au sens où nous l'entendons habituellement, ce n'est pas dire que n'existe en aucune manière, puisqu'il est basé sur , étant ici bien celui de , et ne pouvant pas appartenir à (jusqu'à preuve du contraire), alors que cette thèse interdit de trouver un résultat dans un ensemble en ayant fait subir des opérations à un nombre appartenant à un autre ensemble…

P.-S.: Désolé pour la frayeur que j'ai dû vous faire avec la mise en forme de ce message, je ne maîtrise pas encore bien les balises… ^^ Voilà, c'est corrigé!

[ffpower]

Je ne comprend pas.Qu est ce que tu réfutes au juste?

[Bastien L.]

Et j'ajoute cet argument:

On aurait très bien pu découvrir avant son collège ou sa partie (selon le courant que vous suivez) . Dans ce cas là, si vous suivez la thèse selon laquelle n'est pas inclu dans , etc., etc., comment pensez-vous qu'on aurait pu réagir?

Je prends un autre exemple: Je remarque que l'ensemble de nombres {2;4;6;8;10;12;14;16…} admet la division par 2 comme loi de composition interne (enfin, là, je fais peut-être une erreur de vocabulaire… Je ne sais "division par quelque-chose") peut être appelé "loi de composition". Mais appelons-la autrement, si ce n'est pas correct…). Que fais-je? Exclus-je {2;4;6;8;10;12;14;16…} de ? Crée-je un autre ensemble, disons P={2;4;6;8;10;12;14;16…}, en disant que le 6 de P n'est pas le 6 de , mais qu'il lui est simplement assimilable? Et pour les nombres d'Euleur, par exemple? Et, dans , n'y a-t-il pas deux genres de comportements vis-à-vis des puissances négatives? Je pose la même question que ci-dessus (et elle est bien plus fondée ici…).

[Bastien L.]

Je ne comprend pas.Qu est ce que tu réfutes au juste?

Voici donc un petit récapitulatif des discours qui me posent un problème, expliquant mes deux derniers messages. (Je dis bien "qui me posent un problème", et non "que je réfute", car je ne perds pas de vue que le problème vient peut-être de moi, bien que j'ai beaucoup argumenté… ^^)

[Huppasacee]
lorsqu'on fait des calculs dans un ensemble, on y reste.

[Florélianne]
En fait tout ce qu'on présente comme des égalités qui mènent à des inclusions sont seulement des homéomrphismes... (même forme)

[SimonB, À propos des façons de voir un nouvel ensemble qu’on vient de construire]
-comme un ensemble construit certes à partir de l'ensemble de départ, qui n'est pas formellement parlant un sur-ensemble de celui de départ. Par exemple pour \mathbb{Q} : formellement, dans la façon classique (la seule que je connais à vrai dire) de le construire, \mathbb{Z} n'est pas vraiment inclus dans \mathbb{Q}

[Simon B]
Comme je l'ai dit, c'est en soi différent en cela que le nouvel ensemble n'est pas construit formellement comme un sur-ensemble de l'ancien mais comme autre chose [quoique Simon B évoque ici la construction et non explicitement le résultat de cette construction…]

Ce que ne semble pas admettre Imod, si j'ai bien compris, puisque, je crois, il le réfute en proposant "un retour à la source" (et je remarque toutefois sa prudence avec l'utilisation du verbe "pouvoir" et au groupe nominal "copie isomorphe au précédent", que j'ai mis en italique, puisque, après ce qui précéde, dans son discours, on attendrait plutôt, du moins, je pense, "devoir", et "le précédent"… Du moins, s'il y a des raisons dans ce qu'il dit qui font qu'on attend moins cela que ce qu'il a écrit, je ne les vois pas (encore)…):

Les thèmes abordés sont plus subtils qu'ils en ont l'air mais sont en fait de faux problèmes qui perdent leur sens si on retourne aux sources . Si on revient à la construction de \mathbb{Z} à partir de \mathbb{N} , ou \mathbb{Q} à partir de \mathbb{Z} on voit bien que les nouveaux ensembles contiennent une copie isomorphe au précédent et qu'on peut alors identifier \mathbb{N} à un sous-ensemble de \mathbb{Z} et \mathbb{Z} à un sous-ensemble de \mathbb{Q} ...

[leon1789]

hé l'eau, on s'amuse bien ici ! Je peux jouer aussi ? :we:


Z est-il inclus dans D ? D dans Q ? Q dans R ? et R dans C ?...

Pour répondre à ces questions, il faut commencer par dire ce qu'on entend par Z D Q R C ? J'ai l'impression que vous n'êtes pas tous d'accord.


Si vous répondez :
Z = des entiers signés,
Q = des couples d'entiers signés (modulo une relation d'équivalence),
R = des suites de Cauchy de couples d'entiers signés (modulo une relation d'équivalence),
C = des couples de suites de Cauchy de couples d'entiers signés (modulo une relation d'équivalence) (...heu, j'ai rien oublié là ?),

Ben là, c'est pas inclus ! Mais ça s'éjecte canoniquement, ok.
C'est correct, c'est juste.



Cela étant, c'est pas très intuitif, toutes ces relations d'équivalence, ou alors j'ai raté un truc ! Si vous êtes plus intuitifs/naïfs/..., alors peut-être répondrez-vous :
Z = +- nombres naturels
D = +- nombres naturels , une suite de décimales finie
Q = +- nombres naturels , une suite de décimales infinie périodique
R = +- nombres naturels , une suite de décimales infinie quelconque
C = +- nombres naturels , une suite de décimales infinie quelconque +- I * nombres naturels , une suite de décimales infinie quelconque

Et là, ils sont inclus les uns dans les autres évidemment !
C'est juste aussi, non ?

[ffpower]

Bon ok,on utilise implicitement qu il y a une injection isomorphiquepar ex de N dans C.Mais si ceci te dérange,on peut voir les choses autrement.On a construit par ex un ensemble de réel,disons qu on le note R0.A partir de cet ensemble on construit un ensemble que l on appelle C,qui est R0xR0(qui ne contient pas R0 donc).Sur cet ensemble C on a une multiplication,une addition,un 0,un 1,ect...Maintenant on définit R comme l ensemble des éléments de C de partie imaginaire nulle..R est vraiment un sous ensemble de C la,et vérifie toutes les propriétés que l on connait.A ce moment la ya plus de probleme non.On se dit qu on travaille dorénavant dans C,et qu on laisse tomber notre ancien ensemble R0.Si jamais on veut travailler dans les réels,on regarde dorénavant R,qui est bien un sous ensemble de C,et qui vérifie les memes propriétés que notre ancien ensemble de réels R0.Comme ca ya plus de problemes non?

[Charles D.]

La remarque de Leon1789 est interessante, voila ce que j'en conclus
[CENTER]Si on considère qu'il n'y a pas inclusion (la version plus théorique dirons-nous) :[/CENTER]
Il existe donc pour nombre qui répond aux conditions communes à tout les ensembles une version naturelle, relative,...réelle et complexe. Argh ça me reste en travers de la gorge .
[CENTER]Si on considère qu'il y a inclusion (la version feeling) :[/CENTER]
Tout va bien les oiseaux chantent, je n'ai toujours qu'un seul bouton zéro sur ma calculette :++: .

Mais en toute rigueur la version théorique me parait plus juste.
Alors je suis bien obligé de dire que si je veux résoudre x²+12x+37=0 dans R cette équation n'admet aucune solution dans R:
L'outil que l'on nous présente comme résolvant des équations comme celle-ci de R vers R en passant par C est totalement éroné. En effet R n'étant pas inclus dans C si je trouve un élément de C résolvant l'équation et ayant une valeur assimilable à une valeur d'un élément de R, ce n'est en aucun cas un élément de R résolvant cette même équation.
Je parle de C et de R car c'est le cas présent, mais nous imaginons sûrement pouvoir étendre ce doute aux ensembles précédents.

[Bastien L.]

Bonsoir, bonsoir!

Si vous répondez :
Z = des entiers signés,
Q = des couples d'entiers signés (modulo une relation d'équivalence),
R = des suites de Cauchy de couples d'entiers signés (modulo une relation d'équivalence),
C = des couples de suites de Cauchy de couples d'entiers signés (modulo une relation d'équivalence) (...heu, j'ai rien oublié là ?),

Ben là, c'est pas inclus ! Mais ça s'éjecte canoniquement, ok.
C'est correct, c'est juste.

Ce serait plutôt "cohérent", je pense! Et "cohérent" n'équivaut pas à "juste". Le second implique le premier, mais ce n'est pas réciproque. Une théorie scientifique peut être réfutée soit par elle-même soit par d'autres. Une religion peut être cohérente, ce n'est pas pour autant qu'on est forcé d'y croire…

Bon ok,on utilise implicitement qu il y a une injection isomorphiquepar ex de N dans C.Mais si ceci te dérange,on peut voir les choses autrement.
[…]
Comme ca ya plus de problemes non?

Ben oui, mais tu laisse entendre que ce n'est qu'une vue de l'esprit pour se rassurer… On n'en a donc pas encore fini…



Quand-même, ce qui me dérange pour réfuter l'inclusion, c'est les rapports entre et ! Si on soutient cette réfutation, alors il n'existe plus de nombre qui, ajouté à sept, puisse donner le naturel 4, on ne peut plus démontrer que (éléments de en écrivant , enfin… c'est assez énorme, pour parler poliment…

[abcd22]

Bonsoir,

[CENTER]Si on considère qu'il n'y a pas inclusion (la version plus théorique dirons-nous) :[/CENTER]
Il existe donc pour nombre qui répond aux conditions communes à tout les ensembles une version naturelle, relative,...réelle et complexe. Argh ça me reste en travers de la gorge .

On ne peut pas « considérer » ça, il y a, de fait, comme d'autres l'ont dit, des isomorphismes canoniques entre Z, Q, R... et des sous-parties de Q, R, C... et en maths « il existe un isomorphisme canonique entre A et B » ça veut dire la même chose que « A et B sont la même chose, et on identifie les éléments de A aux éléments de B par l'isomorphisme (et vice-versa) ».

[SimonB]

Comme c'est une partie centrale de ton discours, avant de réagir, j'aimerais te demander, si tu en as le temps, d'expliquer juste un peu plus pour qu'un élève de T.S. (spécialité maths, je précise, aux cas où ça aiderait) puisse bien comprendre?

Un bon texte sur les ensembles quotients ici.

Mon exemple maintenant, si tu as lu et compris la page précédente : tu prends comme ensemble de base l'ensemble des couples (m,n) d'éléments de (ce qu'on appelle ) et tu dis qu'un couple (m,n) est équivalent à un couple (m',n') si et seulement si mn'=m'n. Tu vérifies que c'est une relation d'équivalence... Et est alors l'ensemble quotient relatif : "en vrai", (m,n) désigne la fraction .

Alors je suis bien obligé de dire que si je veux résoudre x²+12x+37=0 dans R cette équation n'admet aucune solution dans R:
L'outil que l'on nous présente comme résolvant des équations comme celle-ci de R vers R en passant par C est totalement éroné. En effet R n'étant pas inclus dans C si je trouve un élément de C résolvant l'équation et ayant une valeur assimilable à une valeur d'un élément de R, ce n'est en aucun cas un élément de R résolvant cette même équation.
Je parle de C et de R car c'est le cas présent, mais nous imaginons sûrement pouvoir étendre ce doute aux ensembles précédents.

Je ne suis pas sûr de tout comprendre, mais essentiellement :0
-Oui, cette solution n'admet pas de solution dans (ça valait la peine de dire ça à ce stade là ! :we: )
-Non, l'outil n'est pas "totalement erroné" : en posant cette équation dans , tu assimiles sans même le remarquer le réel 1 (devant le coefficient x^2) au complexe (1,0)... Et tu peux dire que si x est une solution réelle, alors (x,0) est solution de l'équation complexe associée, i.e. avec les coefficients qu'on remplace par les couples composés des coefficients et de 0 en deuxième composante...

[Bastien L.]

« il existe un isomorphisme canonique entre A et B » ça veut dire la même chose que « A et B sont la même chose

Je ne suis pas assez calé pour réfuter cela, mais, néanmoins, en êtes-vous bien sûr?

Ca résoudrait bien vite le problème, il est étonnant que personne ne l'ait dit avant, et, pourquoi aurait-on créé des expressions différentes? (Je ne réfute pas, je ne fais que poser des questions… ^^)

[abcd22]

Ca résoudrait bien vite le problème, il est étonnant que personne ne l'ait dit avant, et, pourquoi aurait-on créé des expressions différentes?

Parce que la première est l'expression correcte mathématiquement, la deuxième est juste la traduction de ce que ça signifie en langage courant.

[Bastien L.]

en posant cette équation dans , tu assimiles sans même le remarquer le réel 1 (devant le coefficient ) au complexe (1,0)... Et tu peux dire que si x est une solution réelle, alors (x,0) est solution de l'équation complexe associée, i.e. avec les coefficients qu'on remplace par les couples composés des coefficients et de 0 en deuxième composante...

Eh! :id: Là, ça devient vraiment très intéressant! Serait-ce enfin la synthèse d'un raisonnement en trois temps dont nous n'aurions jusqu'à présent eu que la thèse et l'antithèse ???

[Charles D.]

« il existe un isomorphisme canonique entre A et B » ça veut dire la même chose que « A et B sont la même chose.

Je crois qu'on peut noter une différence entre "A est la même chose que B" et "A est B".
Si A est la même chose que B, le chiffre a appartenant à A et le chiffre a appartenant à B ont certes la même valeur mais je ne peux pas les égaliser. Quitte a dire a(A) dans A a(B) dans B je suis d'accord. Mais dire a(A) = a(B) est non rigoureux il me semble.
Si A est B alors c'est different, A et B sont alors permutables, c'est juste une diffèrence de signifiant et non pas de signifié je peux alors écrire a(A) = a(B).

J'espere abcd22 que tu comprends ce que je veux dire.

[Charles D.]

Eh! :id: Là, ça devient vraiment très intéressant! Serait-ce enfin la synthèse d'un raisonnement en trois temps dont nous n'aurions jusqu'à présent eu que la thèse et l'antithèse ???

Effectivement ça le raisonnement de SimmonB me semble aussi synthétique et acceptable.

[abcd22]

Je crois qu'on peut noter une différence entre "A est la même chose que B" et "A est B".

Oui, mais en mathématiques on fait énormement de choses « à isomorphisme (unique assez souvent) près », si on n'identifiait pas les objets isomorphes ça compliquerait énormément les choses. Vous en avez des exemples ici, Z, Q, R, C sont définis à isomorphisme près, il y a plusieurs constructions possibles de R à partir de Q par exemple, on ne montre pas que ça donne le même ensemble, juste que les ensembles obtenus sont isomorphes, et on considère qu'on a obtenu le même ensemble, qu'on note « R » de façon unique. Pour C, on peut le définir comme le produit R×R avec le produit qui va bien, si vous continuez les maths plus tard vous verrez sûrement « C = R[X]/(X² + 1) », ça donne un corps isomorphe au C construit en terminale (avec deux isomorphismes), mais au sens strict ce n'est pas la même chose (en fait la « bonne » construction est plutôt la deuxième, qui correspond vraiment à « on ajoute une racine (deux en fait) à X² + 1 », mais ce n'est pas possible de faire ça en terminale, il faudrait voir les anneaux, les idéaux, les quotients...).

[Bastien L.]

Donc, si je comprends bien ce que j'appellerai la synthèse de SimonB, quand je me dis:

"Existe-t-il un nombre qui ajouté au naturel 7 donne le naturel 4?",

je me dis

"Si un tel nombre existe dans un ensemble X, alors c'est celui qui résout dans X l'équation x(deX)+(le)7(deX)=(le)4(deX). Ensuite, soit le x de X a un équivalent dans , soit il n'y en a pas.

S'il n'y en a pas, tant pis, je peux écrire: le x de X ajouté au 7 de donne le 4 de ,

en gardant à l'esprit que cela signifie que x(deX)+(le)7(deX)=(le)4(deX), où "(le)7(deX)" est l'équivalent du naturel 7 dans X, de même pour "(le)4(deX)".

C'est-à-dire que j'ai un moyen pour passer par addition du naturel 7 au naturel 4, par transposition dans X, puis par retour dans , en ayant transposé la solution x dans si c'est possible, ou non, si ça ne l'est pas…

Dans ce cas particulier X=, et x=(le)-3(de).

Et si je réponds à la question "Existe-t-il un nombre qui ajouté au naturel 7 donne le naturel 4?", je réponds bien: (le)-3(de)+(le)7(de)=(le)4(de), car je sais que les opérations du membre de gauche se font après avoir tout transposé à l'ensemble le plus grand (), et qu'on aboutit bien au membre de droite après retour (re-transposition) à …