La vérité en mathématiques

[Archytas]

Salut,
Je voudrais savoir un petit truc. On a démontré que l'hypothèse du continu ne peut ni être démontrée ni être infirmée (d'abord Gödel montre l'un puis son élève, Cohen, l'autre).
Pourtant la question est bien posée, soit il existe un ensemble de cardinal strictement entre le continu et le dénombrable, soit il n'y en a pas(non?). Donc la question a bel et bien une réponse et ce qu'ont fait Gödel et Cohen c'est démontrer qu'on ne saura jamais la réponse (et donc que le fait que ce soit vrai ou faux ne nous dérangera finalement jamais puisque construire une théorie avec l'un ou l'autre ne nous fera pas aboutir à une contradiction). Jusque là, est ce que j'ai bien compris?
Et le motif de mon post c'est de comprendre la différence entre le cas que j'énonce au dessus et le fameux cas de "l'axiome du choix". Qui s'est avéré "indépendant" des autres axiomes et donc son acceptation est plus une considération philosophique qu'autre chose si j'ai bien compris. Et donc je voudrais savoir si l'axiome du choix est aussi "vrai ou faux" comme l'hypothèse du continu mais on ne peut pas savoir si c'est l'un ou l'autre ou alors si c'est vraiment un truc à part, deux problèmes différents? (Ou alors si je me suis planté et que j'ai pas compris ce qui se passait dans le cas de l'hypothèse du continu qui, je l'avoue, est la partie la plus floue).
Je sais que ce genre de post fait beaucoup de débat du style "l'axiome du choix, POUR ou CONTRE", "Faut-il l'accepter", "Comment choisir une infinité de chaussettes identiques nom de nom". C'est pas le but ici, je veux juste savoir la différence entre ces deux trucs "ni vrai ni faux" ou si, justement, y a pas de différences.
Merci d'avance

[zygomatique]

salut

pour te donner une idée ...

il y a une différence entre une hypothèse et un axiome

on a une théorie mathématique T : un système d'axiomes et des règles d'inférence qui permettent de produire des théorèmes

et on a des propositions comme l'hypothèse du continu P

la théorie ne permet ni de montrer P ni de montrer non P (voire même la théorie montre qu'on ne peut pas montrer P (ou non P))

P reste donc une hypothèse


ensuite on a l'axiome du choix qui n'est qu'une proposition Q

on peut alors considérer la nouvelle théorie S = T U {Q}

si celle ci est contradictoire alors cela pose pb évidemment

ici on peut même considérer la théorie S' = T U {non Q}

à nouveau le pb est de savoir si elle est contradictoire un non


le pb classique est le cinquième postulat d'Euclide : l'accepter conduit aux géométries euclidiennes, le refuser conduit aux géométries non euclidiennes

voir par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_(m ... 9mentaires)
et http://fabien.besnard.pagesperso-orange ... clide.html

...

[Ben314]

Salut,
Je sais pas si ce que raconte zygomatique est bien clair pour tout le monde donc j'y vais de "ma petite prose".

Dans les maths qu'on fait à l'heure actuelle, on utilise assez souvent la notion d'infini (par exemple l'infinitude des nombres entiers) alors que cette notion est totalement inexistante du monde concret donc on ne peut faire aucune expérience réelle la concernant pour savoir si tel ou tel truc est vrai ou pas.
Donc la seule façon de manipuler un tel concept purement abstrait, c'est de présupposer qu'il vérifie certaines propriétés (c'est ça qu'on appelle des axiomes) puis de regarder si, à l'aide de ces hypothèses on arrive ou pas à montrer qu'ils possède d'autres propriétés. Une des façons de voir les choses, c'est de considérer qu'on étudie un "univers", différent du notre (en particulier dans lequel l'infini existerais) et que les axiomes seraient des lois vérifiées par l'univers en question (mathématiquement parlant, un tel "univers", c'est ce qu'on appelle un "modèle") (*).
Depuis le temps que les matheux réfléchissent à la question, à l'heure actuelle, à peu prés tout le monde s'est mis d'accord sur les mêmes "présupposés" (c'est ce que l'on appelle "la théorie des ensembles") qui sont relativement simples, relativement peu nombreux, relativement proche de l'intuition et qui sont suffisants pour démontrer ou infirmer bon nombre des questions "naturelles" qu'on peut se poser en math.
Sauf que d'un autre coté, Gödel à démontré, que dés qu'on veut pouvoir manipuler un truc aussi peu concret que l'infini, alors, quelque soient les "présupposés" que l'on prend le concernant (avec quelques hypothèses techniques), il "manquera" toujours des présupposés, c'est à dire qu'il y aura toujours des trucs qu'on ne pourra ni démontrer, ni infirmer par manque de "présupposés" : une telle proposition est appelée "indécidable" et évidement, ça signifie qu'on peut la rajouter dans les présupposés ou bien rajouter sa négation (alors que si tu rajoute un truc que tu peut déjà démontrer, ben ça sert à rien et, si tu rajoute un truc tel que l'on peut démontrer le contraire alors tu tombe sur un système contradictoire).
Il ne faut surtout rien voir de super théorique, ni de super compliqué à ces notions :
Exemple : Un bateau quitte Le Havre, se dirige vers Brest (200km). Il mesure 127m, pèse 853 tonnes, va à 25Km/h et transporte 500 Tonnes de Bois.
Proposition 1 : "Le bateau met 8h pour arriver à Brest" => On peut démontrer à l'aide des présupposés que c'est vrai. Donc ça ne sert à rien de le rajouter dans les hypothèses et si on rajoutais dans les présupposés que "le bateau ne met pas 8h pour arriver à Brest", on obtiendrait un truc contradictoire.
Proposition 2 : "Le capitaine a plus de 40 ans" => C'est indécidable vu les présupposés donnés. On peut donc rajouter "Le capitaine a plus de 40 ans" ou bien "Le capitaine n'a moins de 40 ans dans les présupposés sans que ça ne pose de problème.

Donc pour revenir à ta question de base, avec les présupposés (=axiomes) les plus usités par les matheux à l'heure actuelle (à savoir le système de Zermelo-Franckel, ZF) la propositions appelée "Axiome du choix" ainsi que celle appelée "Hypothèse du continu" sont toutes les deux indécidables donc on peut, si on le désire les rajouter aux axiomes. Si on rajoute l'axiome du choix, le nouveau système d'axiomes est appelé ZFC (Zermelo-Franckel + Axiome du Choix). Si on rajoute l'hypothèse du continu, le nouveau système d'axiomes est appelé ZF+HC (Zermelo-Franckel + Hypothèse du continu).
Et on a même montré que l'hypothèse du continu était indécidable dans le système ZFC (ce qui n'était pas évident du tout vu qu'on avait une hypothèse de plus que dans ZF) ce qui fait que, si on veut, on peut ajouter les deux hypothèses et prendre comme "présupposés" ZFC+HC (mais si on veut, on peut aussi prendre ZF+non(C)+HC ou bien ZFC+non(HC), etc...)

(*) Vu qu'on parle de l'infini (des nombres entiers) très très tôt dans la scolarité, il y a des tonnes de personnes qui pensent (à tort) que les entiers naturels, c'est du "concret" et que donc, si on se pose une question les concernant, forcément le réponse sera "OUI" ou "NON" alors qu'en fait, il existe des tas de propositions concernant les entiers qui sont indécidables avec les axiomes que l'on prend à l'heure actuelle (qui sont évidement très proches de l'intuition que l'on a de ce que devrait être les entiers).
En fait, Gödel à démontré que d'augmenter (dans une certaine mesure) les axiomes ne règlerais pas le problème : si on prend une proposition indécidable avec les axiomes actuels et qu'on la rajoute aux axiomes, alors dans le nouveau système obtenu, elle devient bien évidement décidable, mais par contre, il y en aura toujours d'autres qui,malgré l'ajout, resterons indécidable. Si tu réfléchi bien au problème du bateau çi dessus, tu verra qu'en fait, ça semble assez normal : tu pourra bien mettre autant d'hypothèse que tu veut, il y aura toujours des questions telles qu'on aura pas assez d'hypothèses pour y répondre.

[Archytas]

D'accord, j'y vois déjà plus clair dans les axiomes grâce à vous! Super l'image du bateau et du capitaine, je la ressortirai ou moins n fois dans des discussions . Mais une partie reste encore un peu floue et je vous avoue que j'ai pas très bien compris si vos explication y répondaient :
Selon moi l'hypothèse du continu a un statut différent des autres axiomes à savoir que soit il existe un ensemble "entre" le continu et le dénombrable.... soit il existe pas. Et c'est différent de "par deux points passent une seule droite" ou "on peut choisir une infinité de chaussettes identiques" ou "le capitaine a 42 ans" ou "le capitaine a 21 ans". Dans ces cas on échappe à la vérité en la posant alors que dans l'hypothèse du continu il y a DÉJÀ une vérité mais on la saura jamais ce qui fait qu'on peut le poser comme axiome.
C'est donc là que j'ai besoin de vos lumières : est ce que j'ai raison de croire que l'hypothèse du continu est effectivement vraie ou fausse ou alors la question est plus compliquée que ça?

[Ben314]

Concernant l'histoire bien connue de l'age du capitaine (<-lien), il semblerais que c'est Gustave Flaubert qui en soit "le père".

Sinon, je comprend pas bien pourquoi tu vois l'hypothèse du continue différemment de l'axiome du choix ou de l'axiome des parallèles.

- L'axiome des parallèles, tu peut l'énoncer (quasiment) de la même façon : si on prend une droite D et un point A du plan, alors soit il existe une parallèle à D passant par A, soit il n'en existe pas.
Les seules (mini) différences, c'est que dans l'axiome des parallèles, ça commence par du "quelque soit la droite D et le point A" alors qu'il n'y a pas de "quelque soit" dans l'hypothèse du continu. De plus il y a en fait 3 cas de figures en ce qui concerne les parallèles : soit il n'y a pas de parallèle du tout, soit il y en a une et une seule (et c'est ça "l'axiome des parallèles"), soit il y en a plusieurs (donc en fait, des géométries "non euclidiennes" dans lesquelles l'axiome des parallèles n'est pas vérifiée, il y en a de deux types selon qu'on a une infinité de parallèles ou, au contraire, aucune)

- L'axiome du choix, l'une des façons les plus simples de l'énoncer, c'est de dire que, quelque soit l'ensemble X, il existe une fonction F allant de l'ensemble des parties non vide de X et à valeur dans X telle que, quelque soit la partie non vide A de X, l'élément F(A) soit un élément de A (F est appelée une "fonction de choix")
Donc de nouveau, cet axiome affirme l'existence d'un certain objet et, de nouveau, la seule différence avec l'hypothèse du continu, c'est le "pour tout ensemble X" du début alors que dans l'hypothèse du continu, il y a pas de "pour tout ???" au début.
Mais en fait il existe aussi des Formes faibles de l'axiome du choix, dans lesquels le "pour tout X" du début est "restreint" (mais ne disparait pas complètement au profit d'un simple cas particulier de X)

- Enfin, réciproquement, l'hypothèse du continu, on peut la généraliser en mettant un "pour tout" au début, plus précisément, on considère la proposition "Pour tout cardinal infini X, il n'existe aucun cardinal strictement compris entre X et 2^X" qui est (évidement) appelée Hypothèse du continu généralisée (l'hypothèse du continue "usuelle" correspond au cas particulier où X est l'ensemble des entiers naturels).
Et cette nouvelle propriété est cette fois très exactement du même type que l'axiome du choix ou que l'axiome des parallèles, c'est à dire de la forme "quel que soit... il existe un certain objet mathématique tel que ...".

[Archytas]

D'accord je vois, je pense que ça s'éclairci! J'ai juste l'impression que dans un cas (ZFC) on a un choix à faire ; par exemple on a le choix entre un ballon bleu et un ballon rouge avec lequel jouer. On les regarde, les compare et on en choisit un de manière subjective (comme pour les parallèles ; "je travaille en géométrie euclidienne ou non euclidienne?") et dans l'autre cas (HC) on a qu'un seul ballon dont on ne saura jamais la couleur (par exemple il émet dans l'infrarouge ou dans l'ultraviolet) et n'ayant pas d'outil adapté (admettons) on saura jamais s'il émet dans un ou l'autre, on pourra considérer l'un ou l'autre sans que ça change rien quand on joue avec. Pourtant il émet soit dans l'un soit dans l'autre indépendamment de notre choix.
Vous voyez ce que je veux dire avec mon histoire de ballon?
Parce que finalement, avec les axiomes des droites, l'axiome qu'on choisira affectera la définition de droite ou la vision des droites qu'on aura dans nos espaces (espace affine de dimension 1 ou géodésique (il me semble)). Alors que là, dans l'hypothèse du continu, j'ai l'impression que tout est bien défini et posé dès le départ...
Je suis désolé si je suis pas très clair, je pense que je vais finir par comprendre ce qui me dérange et que j'en rirai plus tard comme quand j'étais pas encore convaincu que 0.9999...=1

[Doraki]

Ben plus on essaye de voir si il y aune "vérité" en maths plus on se rend compte (à cause de Godel) qu'en fait y'en a pas tellement, et que au final, tout ce qui compte c'est la prouvabilité dans tel ou tel système formel, et que tout espoir d'avoir un jour un algorithme qui énumèrerait les théorèmes "vrais" est vain.

On a beau penser a priori que on a "l'ensemble des entiers" qui est le même pour tout le monde et que si on prend une phrase au hasard qui parle des entiers, quelque part elle est indubitablement "soit vraie soit fausse" ... ben ça peut malheureusement pas marcher comme ça.

Bien sûr c'est très très gênant. Parfois tu peux te consoler en te disant que "mais si on prend l'arithmétique du second ordre (avec sémantique complète) alors on a bien 1 seul modèle à isomorphisme près" mais tout ce que ça fait (lol) c'est reporter le problème à la théorie des ensembles (le modèle en question va dépendre du modèle de ZFC dans lequel tu "crois", bon ça va régler le sort de certaines phrases, mais il va encore rester des phrases sur les entiers qui ne sont pas des conséquences des axiomes de ZFC. Chaque modèle de ZFC va "croire" à un modèle canonique de l'arithmétique du second ordre, mais ce sera pas forcément les mêmes si tu demandes à des modèles différents)

[Monsieur23]

Aloha,

Pour préciser un tout petit peu la notion de "vérité", si tu te places dans un modèle, toute formule est soit vraie soit fausse.

Par contre, CH est indécidable vis-à-vis du système formel ZFC, qui n'est qu'un ensemble d'axiome. Je ne peux pas, en utilisant (en gros) que les axiomes et le modus ponens (Si A et A => B, alors B) montrer l'un ou l'autre de CH et ¬CH.

Mais, j'insiste, si tu te places dans un modèle particulier de ZFC, il aura soit CH, soit ¬CH (mais potentiellement, tu ne le sauras jamais).

[Ben314]

Et comme je suis pas sûr que la notion de "modèle" soit bien claire pour Archytas, je me permet de donner un exemple :
Une "théorie", c'est comme le truc du bateaux ci dessus : c'est une liste d'hypothèse que l'on a (taille du bateau, vitesse, point de départ, etc...) et on regarde les déduction qu'on peut faire à l'aide de cette liste d'hypothèse là.
Et il y a systématiquement des trucs "indécidables" qu'on ne peut pas déduire de la liste.
Un modèle (de la théorie en question), c'est un vrai bateau qui vérifie les hypothèse en question (il a la bonne vitesse, le bon point de départ, etc...)
Le truc complètement évident, c'est que si un truc est démontrable avec la théorie (donc avec uniquement les hypothèses faites), alors il va forcément être vrai dans tout les modèles (i.e. pour tout les vrais bateaux vérifiant les hypothèses) mais par contre un truc indécidable dans la théorie, dans un modèle (i.e. avec un vrai bateau), il sera évidement soit vrai, soit faux, (dans un modèle, c'est a dire avec un vrai bateau qui existe, il n'y a pas de 3em possibilité) sauf que ça risque évidement de dépendre du modèle (i.e. du vrai bateau choisi) : pour certains bateaux (vérifiant les hypothèses) ça va être vrai, mais ça sera pas vrai pour d'autres.

[Lostounet]

Merci à tous les intervenants (et Archytas d'avoir ouvert cette discussion) car je commençais justement à me poser ces questions.

[anthony_unac]

Bonsoir,
Une question me vient à l'esprit en tant qu'amateur : on voit souvent le nom de godel revenir sur le tapis (notamment pour ses théorèmes d'incomplétudes) mais depuis le temps (parce que ça commence à dater cette affaire, j'ai du mal à croire que personne n'ait avancé sur le sujet ?!
En tant qu'amateur, Godel me renvoie le message : attention peu importe ce que tu peux tenter de bâtir en partant de telle ou telle fondation, tu finiras tôt ou tard par te casser la figure (sous une forme ou une autre).
1/ A quoi bon essayer de bâtir en partant de telle ou telle fondation ?
2/ Bâtissons en partant de telle ou telle fondation et si ça foire prenons en une autre ? mais est ce vraiment une solution ?
3/ On sait dans l'absolu que tout est foireux alors essayons juste de nous accommoder de ce qui est le moins foireux (toutes sous filières mathématiques confondues) histoire de nous attirer les faveurs de la majorité scientifique pensante...

[Ben314]

Concernant Gödel, c'est comme Pythagore (-500 a.v. J.C.) : on a certes trouvé de nouveau trucs depuis, mais ça n'enlève rien ni à la véracité, ni à la valeurs des résultats (de Pythagore et... de Gödel).

Sinon, Gödel, le seul truc qu'il a "foutu par terre", c'est le "rêve de Hilbert" qui espérait trouver un système axiomatique de l'arithmétique qui soit à la fois :
- Cohérent : aucune assertion ne peut être à la fois démontrable et réfutable (= on peut démontrer la négation)
- Complet : toute assertion est soit démontrable, soit réfutable.
- Décidable : il existe une procédure finie qui permet de vérifier si une assertion donnée est démontrable ou réfutable.
(c'était aussi plus ou moins sont "deuxième problème" lors du fameux congrès de 1900)
Gödel a en fait montré qu'un système axiomatique de arithmétique
- Ne peut être à la fois cohérent et complet (c'est le "théorème d'incomplétude")
- Si le système est cohérent, alors la cohérence ne peut pas être prouvée au sein même du système (mais elle peut l'être "en dehors du système")

Ensuite, concernant le système axiomatique ZF (plus éventuellement l'axiome du choix) le plus fréquemment utilisé actuellement (qui englobe l'arithmétique et qui n'a quasiment pas changé depuis le début du 20em siècle), on n'a bien entendu pas de preuve de sa cohérence, mais d'un autre coté, depuis plus d'un siècle, personne n'a prouvé son incohérence non plus (i.e. personne n'a trouvé de contradiction).

De plus, ce n'est pas du tout "parce qu'il est moins foireux que les autres" que tout le monde l'utilise, mais plutôt du fait que :
- Déjà, je pense pas qu'un seul matheux ne trouve ZF "foireux" : on est pas sûr et certain qu'il est consistant, c'est tout.
- Ensuite, il n'y a jamais vraiment eu de "concurrence" : les quelques autres systèmes proposés au début du 20em siècles étaient, sauf erreur, assez équivalents à ZF (et éventuellement d'un usage un peu moins pratique).
Et concernant d'autres systèmes "inventés" depuis, du peu que j'en connais, il me semble que la plupart du temps, on a montré que ces nouveaux systèmes étaient consistant si et seulement si ZF l'est (c'est par exemple le cas de l'analyse non standard dans sa vision axiomatique telle que présenté par Robinson)
- Enfin, au niveau des maths. "usuelles" (i.e. autres que la logique) il donne de très bon résultat donc seuls les logiciens se penchent sur la question de savoir si "on pourrait faire mieux/différent".
- Et pour finir, la logique, c'est nettement moins à la mode, et, les matheux autres que les logiciens ne se préoccupent que "moyennement" de la cohérence du système, voire même ils ne se préoccupent que "moyennement" de savoir dans quel système ils travaillent : ils sont convaincus (et à mon avis à juste titre) que, si on trouvais une contradiction dans le système actuel ZF, alors les logiciens pourrait facilement "mettre une rustine" sur le système (i.e. enlever un petit truc pour que la preuve de l'incohérence ne marche plus), mais que cette "rustine" ne changerais absolument rien aux maths. que eux pratiquent.
Dit avec des "mots simples", les fondations de la pyramide sont certes "légèrement branlant", mais quasiment tout le monde pense que, s'il elles bougeaient, rien ne se propagerais aux "étages d'au dessus" qui d'ailleurs ont souvent été construit longtemps avant les fondations...

[anthony_unac]

... oui au final on s’accommode ... n'est ce pas ?

[Ben314]

On peut effectivement le dire comme ça, mais on peut aussi le dire sous la forme que ces question là, c'est plus trop à la mode et qu'il y a nombre de matheux qui n'en ont pas grand chose à f...
Il faut aussi dire que les maths ont existé très longtemps avant l'axiomatisation et que ça conduisait de temps en temps sur des trucs contradictoire, qu'on faisait un peu ce qu'on pouvait pour lever les contradiction mais que la "machine" avançait quand même.
Pour reprendre un exemple sur lequel on a débattu il y a peu, Newton avait quand même le sentiment que les infinitésimaux qu'il utilisait dans son calculs infinitésimal qui était nuls vus sous un certain angle et non nuls vu sous un autre angle, c'était quand même "un peu contradictoire". Mais ça ne l'a pas empêché de travailler avec, comme des tonnes d'autres matheux pendant plus de 200 ans avant que d'autres (plus ou moins les premiers "logiciens") ne trouvent la façon d'éradiquer ces "bizarreries" des mathématiques.
Et quand on a éradiqué les infinitésimaux, ben ça n'a pas changé grand chose à la théorie qui avait été bâtie à l'aide des infinitésimaux (a peu près tout les résultats démontrés précédemment sont resté vrais dans le nouveau cadre). Ca à juste donné une "base plus saine" au domaine en question et ça a plus ou moins garanti qu'on ne trouverais pas de contradictions spécifiques au domaine en question.

[anthony_unac]

...dans ce cas n'en parlons plus ... ou alors pas trop fort !

[Monsieur23]

On peut effectivement le dire comme ça, mais on peut aussi le dire sous la forme que ces question là, c'est plus trop à la mode et qu'il y a nombre de matheux qui n'en ont pas grand chose à f...

Juste pour dire que ça revient un peu à la mode. Je bosse en théorie des types, et j'ai l'impression qu'en l'espace de quelques années, il y a de plus en plus de gens qui y réfléchissent (dont pas mal qui viennent de l'informatique ; baser les maths sur la théorie des types, ça aiderait à "unifier" les maths et l'info).

[Archytas]

Salut,
Désolé pour ma réponse tardive.
Je pense avoir compris l'histoire de modèle ; si on a un bateau qui va à 60km/h, "l'âge du capitaine est 42 ans" est indécidable pourtant avec un modèle, donc un vrai bateau et un capitaine, le capitaine aura ou non 42 ans. Je vois à peu près. Mais ça ressemble à quoi un modèle en maths (si c'est possible de le résumer facilement)? J'avais eu l'occasion de suivre un cours de théorie des modèles mais je l'ai pas pris, dommage.
Et donc, à part ça, je pense avoir compris que ce que disent Doraki, Ben et Monsieur23 c'est que CH n'a pas de valeur de vérité indépendamment de toute chose? Il lui manque quelque chose pour trancher? Un modèle donc?
Dans la vraie vie quand une chose est bien définie elle est soit vraie soit fausse (non)? Soit des marsiens émigrés vivent sur une planète en brownie à 4 milliards d'année lumière soit c'est pas le cas mais c'est indécidable par manque de moyen de le savoir.
Mais ça ne serait pas le cas en maths? L'hypothèse du continu pourrait être bien définie sans qu'il EXISTE de réponse?! Ça me semble totalement invraisemblable... L'ensemble des parties de étant bien défini soit on peut piocher un de ses éléments tel qu'il ne s'injecte pas dans et tel que ne s'injecte pas dedans, soit non? Je me considère assez ouvert d'esprit pour accepter qu'on me dise qu'on ne pourra jamais savoir la réponse mais pas assez pour qu'on me dise qu'il n'y a pas de réponse dans notre base d'axiomes . J'ai encore du travail à faire pour comprendre ces choses là, je pense que je vais aller casser les pieds à quelques uns de mes profs pour avoir leurs explications !

On peut effectivement le dire comme ça, mais on peut aussi le dire sous la forme que ces question là, c'est plus trop à la mode et qu'il y a nombre de matheux qui n'en ont pas grand chose à f...

C'est bien dommage de pas savoir dans quoi on met les pieds quand on travaille dedans quand même. Je trouve ça aussi regrettable qu'un physicien persuadé que tel ou tel modèle (relativité ou physique quantique pour ne citer qu'eux) ne pourra pas être contredit dans le temps.
Personnellement je passe l'agrèg cette année et bon nombre de mes camarades n'ont absolument aucune idée des fondements des mathématiques. Qu'est ce qui les rend aussi vraies et intangibles dans le temps contrairement à la physique? Peut être même que certains pensent le contraire ; que certains théorèmes pourront un jour être remis en question. Et je trouve ça dommage. Ils vont être prof, transmettront les maths et sauront même pas justifier leur cohérence. Enfin, je dis ça mais j'ai pas fait de sondage. Donc je me trompe peut être (j'espère).
Tout ça pour dire qu'un petit cours sur les fondements des maths : axiomes/CH/ZFC/Gödel et problème de Hilbert en 2h ou 4h sans rentrer dans les détails juste à titre culturel en début de fac ferait franchement du bien je pense et ça pourrait donner du sens et de la motivation à ceux qui se sont jamais posé la question.

[Ben314]

En ce qui concerne les modèles en math, c'est, comme pour les bateaux, des "vrais cas concret" de la théorie.
Sauf que, et c'est là qu'on voit les limites de l'exemple avec des bateaux, dans le "vrai concret" dans lequel on vit, ben il n'y a rien d'infini donc on ne risque pas d'y trouver des modèles d'une quelconque théorie mathématique dans laquelle l'infini existe (donc par exemple de modèle de la théorie axiomatique des entiers).
De plus, il faut bien comprendre que, si on a un "vrai modèle" d'une théorie quelconque, ben ça prouve immédiatement que la théorie en question est cohérente (= non contradictoire) et vu qu'on ne sait pas montrer la cohérence des théories mathématiques (qui contiennent de l'infini), ça montre bien que des "vrais modèles", ben on en a pas (et à priori, on en aura jamais).

Bref, des "modèles concrets" en math. on en a pas donc au fond, même la notion de modèle est abstraite et il faut les imaginer dans un "autre univers" que le notre.
Le seul truc qu'on peut éventuellement faire, c'est d'imaginer qu'ils existent "pour de vrai" mais... dans un autre univers. Sauf que, comme l'univers en question est lui même inventé, ça ne répond à rien...

Dans la vrai pratique des math., cet histoire de modèle, en fait, il n'y a quasiment qu'une seule façon de la manipuler, c'est de commencer par dire "supposons que j'ai a ma disposition un modèle de la théorie T" puis, à l'aide de ce modèle de fabriquer un modèle d'une théorie T'.
Et évidement, tout ce qu'on en déduit, c'est que, si T est non contradictoire alors T' est elle même non contradictoire.

Par exemple, pour montrer que l'axiome du choix C est indécidable dans ZF, tu part d'un modèle M de ZF que tu suppose exister et, en prenant uniquement des "morceaux" du modèle en question, tu fabrique un nouveau truc M' puis tu démontre que ce truc est lui aussi un modèle de ZF et qu'en plus il vérifie l'axiome du choix. De même en prenant d'autres "morceaux" de M tu fabrique un truc M'' qui s'avère être lui aussi un modèle de ZF mais qui ne vérifie pas l'axiome du choix.
Et ce que tu déduit (et c'est bien exactement ça qu'on sait), c'est que, si ZF est cohérent alors ZF+C est lui aussi cohérent ainsi que ZF+non(C). Et ça signifie bien que l'axiome du choix est indécidable dans ZF, c'est à dire que, si ZF est non contradictoire, on ne peut démontrer ni C ni non(C) dans ZF (d'un autre coté, si une théorie T est contradictoire, alors on montre aisément que dans T, on peut démontrer tout et son contraire donc, si ZF est contradictoire, alors on peut démontrer à la fois C et non(C) dans ZF...)

[Ben314]

...c'est que CH n'a pas de valeur de vérité indépendamment de toute chose ? Il lui manque quelque chose pour trancher ? Un modèle donc ?

Dans un modèle de ZF, par définition même de ce qu'est un modèle, que ce soit l'axiome du choix, l'hypothèse du continu ou n'importe quelle autre proposition, ça sera "VRAI" ou "FAUX". Mais comme des modèles de ZF "concret" on en a pas (et on ne risque pas d'en avoir), et qu'on ne sait même pas si on a le droit de supposer qu'on a un (dans un "autre univers") vu qu'on ne sait pas si ZF est cohérent ou pas, ça ne nous avance pas vraiment de savoir que, dans un modèle donné, la réponse est forcément "VRAI" ou "FAUX".
Bref, au fond, tout ce qu'on sait faire en fait, c'est de travailler avec la théorie...

Dans la vraie vie quand une chose est bien définie elle est soit vraie soit fausse (non)? Soit des marsiens émigrés vivent sur une planète en brownie à 4 milliards d'année lumière soit c'est pas le cas mais c'est indécidable par manque de moyen de le savoir.

Tout a fait : dans l'univers dans lequel on vit, ton truc de martiens, il est soit vrai, soit faux. Sauf que si tu regarde uniquement ce que l'on sait de l'univers où l'on vie, ce "ce que l'on sait", c'est, au sens mathématique du terme, une "théorie" et notre univers est un modèle de cette théorie là. Et il est bien sûr possible d'imaginer d'autres univers qui seraient aussi des modèle de cette même théorie mais qui seraient différents du notre, c'est à dire que certaines "lois" que l'on ne connait pas encore à l'heure actuelle y serait fausses alors qu'elles sont vrai dans le notre.
Et il est éventuellement possible que, dans certains de ces autres univers, la réponse à la question sur les martiens ne soient pas la même que celle dans notre univers. Si c'est le cas, ça signifierais que la réponse à la question sur les martiens est indécidable dans la théorie formée des choses que l'on sait à l'heure actuelle sur notre univers.
Mais par contre, dans notre univers à nous, la réponse est forcément "oui" ou "non" et pas autre chose : le "indécidable", ça ne peut avoir de sens que dans le cadre d'une théorie et pas dans le cadre d'un modèle.

Bref, pour un matheux (i.e. avec le sens qu'il donne au termes "indécidable", "théorie", "modèle"), notre univers "concret", c'est un "modèle" et pas "une théorie" donc il n'y a rien d'indécidable dans notre univers, par contre "ce qu'on connait de notre univers", là c'est bien une "théorie" et il y a évidement des tonnes de trucs indécidable dans cette théorie (tout ça en restant au niveau "naïf" de la physique : si tu rentre dans des théories comme la physique quantique, là, je pense que c'est éventuellement moins clair que notre univers soit un "modèle")

Concernant le reste de ton post., perso, je suis plus ou moins d'accord avec toi : une petite intro. à la la théorie des modèles, ça pourrait être utile, mais je sais pas si c'est forcément à "inclure" dans un cursus universitaire : si tu veut pas que ça prenne des lustres, ça doit être présenté de façon "simplifiée" avec uniquement des "images" (comme le problème de l'age du capitaine) et je me demande si c'est pas plus du cadre de trucs comme "les mercredi de la science" ou tout autre truc de vulgarisation où seul ceux qui le désirent se rendent.
Il faut pas perdre de vue que, les maths, ça sert aussi (surtout ?) à envoyer des fusées sur la lune, crypter les infos sur internet, compacter les sons/images/films, etc... et que dans tout ces contextes là, je pense que le problème "des fondement", c'est "bof bof" (encore qu'il faille bien relire ce que dit Monsieur23 çi dessus, à savoir que, via l'info théorique et la théorie des types, ça revient un peu à la mode et ça pourrait éventuellement finir par avoir certaines applications plus ou moins "pratiques")

[Archytas]

Ok super, bon je pense que ça a achevé de me convaincre, j'étais bloqué dans le "soit vrai, soit faux" de notre univers réel et l'illusion de penser qu'un problème bien posé a une réponse...

si tu rentre dans des théories comme la physique quantique, là, je pense que c'est éventuellement moins clair que notre univers soit un "modèle"

La physique essaie pas de faire des modèles simplifiés de notre univers? (qui a beau être un modèle aussi, n'en reste pas moins incroyablement complexe). Ou ils cherchent la théorie qui rend vrai notre modèle particulier d'univers?