L'univers est il un ensemble ?

[gast]

Bonjour,
Je suis un petit nouveau qui, après de nombreuses années, reprend contact avec les mathématiques.
Je souhaiterai savoir si définir l'univers comme "l'ensemble des objets réels" est conforme à la théorie des ensembles ?

[vincentroumezy]

Bonjour.
Pourquoi faire ?
Traiter l'Univers selon le pt de vue de la théorie des ensembles n'a probablement aucun intérêt.

[chan79]

Bonjour,
Je suis un petit nouveau qui, après de nombreuses années, reprend contact avec les mathématiques.
Je souhaiterai savoir si définir l'univers comme "l'ensemble des objets réels" est conforme à la théorie des ensembles ?

Si tu veux parler d'un ensemble de tous les ensembles, ça n'existe pas, effectivement

[adrien69]

Si tu veux parler d'un ensemble de tous les ensembles, ça n'existe pas, effectivement

Pourquoi ? Dans ce genre je connais le paradoxe de Russell mais ce n'est pas ce qu'il dit.

[fma]

Existe-t-il un ensemble des objets réels qui répertorie tous les ensembles des objets réels qui ne se répertorient pas eux-mêmes et seulement ceux-ci ?

[Skullkid]

Bonjour, attention à l'utilisation du mot "réel" en maths. La réalité est une affaire de philosophes, et "réel" - au sens où tu l'entends - ne veut rien dire en maths. Après rien n'interdit de se poser des questions philosophiques en lien avec les maths, je veux juste insister sur le fait qu'on ne peut pas définir d'objets mathématiques à partir de notions non mathématiques.

Si comme le suggère chan79 tu penses à un "ensemble de tous les ensembles", la théorie des ensembles usuelle contient l'axiome de fondation, qui interdit entre autres l'existence de l'ensemble de tous les ensembles et qui permet de donner à la relation d'appartenance des propriétés intuitives. Mais il ne me semble pas avoir vu de raisons d'interdire l'ensemble de tous les ensembles dans les théories qui ne contiennent pas l'axiome de fondation... À vérifier.

[gast]

Bonjour,
Merci pour ces informations.
Ma question a effectivement un coté philosophique, mais je me plaçais plutôt du point de vue de la logique.
Comme l'évoque Adrien69, je songeais au paradoxe de Russel. Si on peut définir l'univers comme l'ensemble des objets réels (je me suis moi-même posé la question de la possibilité d'employer ce mot. Finalement cela m'a paru la meilleurs façon de me faire comprendre), l'univers peut être défini comme l'unique ensemble qui se contient lui-même (cf théorie de la relativité).

[Archytas]

Bonjour, attention à l'utilisation du mot "réel" en maths. La réalité est une affaire de philosophes, et "réel" - au sens où tu l'entends - ne veut rien dire en maths. Après rien n'interdit de se poser des questions philosophiques en lien avec les maths, je veux juste insister sur le fait qu'on ne peut pas définir d'objets mathématiques à partir de notions non mathématiques.

Si comme le suggère chan79 tu penses à un "ensemble de tous les ensembles", la théorie des ensembles usuelle contient l'axiome de fondation, qui interdit entre autres l'existence de l'ensemble de tous les ensembles et qui permet de donner à la relation d'appartenance des propriétés intuitives. Mais il ne me semble pas avoir vu de raisons d'interdire l'ensemble de tous les ensembles dans les théories qui ne contiennent pas l'axiome de fondation... À vérifier.

Si cet ensemble n'existe pas c'est qu'il doit se contenir et que donc ça fait un nouvel ensemble qu'il doit donc contenir aussi etc... nan ? ça fait mal à la tête ! Et sinon tu peux parler des "objets réels" en mathématiques mais faut que tu les définisses !

[gast]

Pourquoi ? Dans ce genre je connais le paradoxe de Russell mais ce n'est pas ce qu'il dit.

C'est l'histoire du barbier qui ne rase que ceux quine se rasent pas eux-même, alors qui rase le barbier ? Russel, par son paradoxe, démontre qu'un ensemble est (doit-être) différent de ses éléments. Mais considérons le cas de l'univers ; selon la théorie de la relativité si on retirait tous les éléments qui le compose on n'obtiendrait pas un univers vide mais une absence d'univers. On a là un pseudo contenant puisqu'il est totalement identique à son contenu. Par ailleurs comme il est composé d'une multitude d'éléments on peut l'assimiler à une collection d'éléments. D'où le paradoxe. On peut (??, c'est là le fond de ma question) l'assimiler à un ensemble qui se contient lui-même. Pour conclure cela il faut pouvoir faire fi de la démonstration de Russel qui semble prouver qu'un ensemble ne peut se contenir lui-même. A l'inverse refuser de considérer l'univers comme un ensemble parce qu'il ne correspond pas à la définition de Russel me semble être une pétition de principe.

[adrien69]

Je répète ce que j'ai dit, ce n'est pas ce que dit le paradoxe de Russell. Donc pourquoi un ensemble ne se contiendrait pas lui-même ?

[fma]

http://www.linternaute.com/science/science-et-nous/dossiers/07/paradoxes/7.shtml

Les maths posent bien une question fondamentale, une clé, à mon avis, La clé peut-être, pour comprendre notre univers :
(edit : notion de paradoxe, ici)

origine et fin
matière et énergie
espace et temps
univers discret et continuum
l'enfant et les parents
le grossier et le subtil
...

[fma]

C'est l'histoire du barbier qui ne rase que ceux quine se rasent pas eux-même, alors qui rase le barbier ?

"Mais là, on peut s'en tirer par une pirouette si l'on considère que le barbier est une femme…"

http://tribune.menlook.com/2013/01/28/8130-mon-barbier-est-une-femme/

à moins d'une femme à barbe ?

[adrien69]

Tiens ça me fait penser à ça :

[Skullkid]

Si cet ensemble n'existe pas c'est qu'il doit se contenir et que donc ça fait un nouvel ensemble qu'il doit donc contenir aussi etc... nan ? ça fait mal à la tête ! Et sinon tu peux parler des "objets réels" en mathématiques mais faut que tu les définisses !

C'est justement parce que ça fait mal à la tête (et qu'on n'a pas besoin d'ensembles qui appartiennent à eux-mêmes pour faire des maths habituelles) qu'on a inventé l'axiome de fondation

Pour les objets réels, oui bien sûr si tu leur plaques une définition mathématique on peut en parler. Mais bon courage pour trouver une définition qui corresponde à ce que gast a derrière la tête...

gast, comme l'a dit adrien69, le paradoxe de Russel n'interdit pas l'existence de l'ensemble de tous les ensembles, il interdit l'existence de l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. Ensuite, quand tu parles de l'univers physique, on le définit en général (et ça n'a rien à voir avec la relativité) comme la totalité de la matière et de l'énergie existantes, donc ce n'est pas un ensemble qui se contient lui-même et il n'y a pas de paradoxe de ce point de vue.

De plus, j'insiste à nouveau, le sens des mots en maths n'est pas forcément le même que le sens des mots dans le langage commun. Ainsi on ne peut pas ranger toutes les "collections d'objets" imaginables dans la catégorie des ensembles mathématiques, il y a des règles à respecter et le paradoxe de Russel donne justement un exemple d'une collection d'objets qui ne respecte pas les règles, et qui n'est donc pas un ensemble. Ces considérations ont mené à l'introduction du concept de classe, qui désigne ces collections qui ne sont pas des ensembles.

[adrien69]

Ces considérations ont mené à l'introduction du concept de classe, qui désigne ces collections qui ne sont pas des ensembles.

Concept de type non ? Classe ça désigne les objets qui sont reliés par une relation d'équivalence.

[ffpower]

le paradoxe de Russel n'interdit pas l'existence de l'ensemble de tous les ensembles, il interdit l'existence de l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes.

L'interdiction de l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes entraîne automatiquement l'interdiction de l'ensemble de tous les ensembles.. (Par contre ça n'interdit pas l'existence d'ensembles se contenant eux même..)

[Skullkid]

L'interdiction de l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes entraîne automatiquement l'interdiction de l'ensemble de tous les ensembles

Si tu prends le schéma de compréhension classique, oui, mais il y a des théories des ensembles (genre NF) qui autorisent l'ensemble de tous les ensembles, mais qui interdisent quand même l'ensemble de Russel. Bon j'avoue que c'est des théories plutôt exotiques...

adrien69, je parlais des ces classes-là, je ne connais pas la théorie des types, mais en effet après un peu de lecture, on dirait bien qu'elle a surgi pour des raisons similaires à la théorie des classes.

[fma]

Quesako ? La page ne s'ouvrant pas, je suis allé sur paramètres avancés pour l'accepter.

[Skullkid]

Mon lien ? Même Wikipédia est dangereux de nos jours :/

[gast]

L'interdiction de l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes entraîne automatiquement l'interdiction de l'ensemble de tous les ensembles.. (Par contre ça n'interdit pas l'existence d'ensembles se contenant eux même..)

Je me suis fourvoyé en prétant à Russel le fait d'avoir démontré qu'un ensemble ne peut s'appartenir à lui-même. En fait sa démonstration aboutit à un indécidable. L'axiome de fondation dans la théorie ZF interdit qu'un ensemble se contienne lui-même, mais un ensemble peut très bien se contenir lui-même sans entraîner de contradiction. Seulement on n'en connaît pas d'exemple. A contrario posons un axiome permettant à un ensemble de se contenir lui même. La première caractéristique d'un tel ensemble est d'exclure la possibilité que l'ensemble vide soit son sous-ensemble. En effet il est contradictoire de dire qu'un ensemble qui se contient lui-même contient en même temps le vide de lui-même. De même, me semble-t-il, il est exclus que l'ensemble qui se contient lui-même puisse contenir autre chose que lui-même, sinon on retombe dans le paradoxe de Russel. Donc, l'ensemble qui se contient lui-même est un singleton qui ne contient pas d'ensemble vide. Cette description -et je reviens là à ma question initiale- correspond à la description de l'univers einsteinien.