Une somme troublante

[Brasko]

Bonsoir,

Je lisait une page sur internet : http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%80%A6

où il est écrit : The Ramanujan sum of 1 + 2 + 3 + 4 + · · · is also 1/12.

Quelqu'un peut_il m'expliquer ?

Merci

[Anonyme]

Bonjour Brasko

Dans cette article il est expliqué que :

Ramanujan summation is a technique invented by the mathematician Srinivasa Ramanujan for assigning a sum to infinite divergent series. Although the Ramanujan summation of a divergent series is not a sum in the traditional sense, it has properties which make it mathematically useful in the study of divergent infinite series, for which conventional summation is undefined.

Ramanujan summation essentially is a property of the partial sums, rather than a property of the entire sum, as that doesn't exist. If we take the Euler–Maclaurin summation formula together with the correction rule using Bernoulli numbers, we see that:

Si tu ne comprends pas trop l'anglais , je te résume "cette histoire" :

Ramanujan arrive à sommer des sommes partielles de séries qui n'existent pas ( car elles divergent vers l'infini )
Il arrive à sommer ses sommes partielles en utilisant des techniques mathématiques ( les nombres de Bernouilli : les "fameux" )

et par cette technique il arrive à démontrer que :
La notation ) indique que ce calcul est fait via la technique de sommation de Ramanujan

Voila ce que j'ai compris "en ne lisant" que "ce morceau de l'article"
Il y a peut être d'autres explications qui détaillent ce calcul ailleurs dans l'article ou ailleurs sur internet ?
(si tu souhaites avoir plus de détails)

[kazeriahm]

On attribue à cette somme la valeur , où est la fonction de Riemann (son prolongement analytique à )

Bref, le sens de cette égalité n'est pas intuitif, il faut faire de l'analyse complexe

[Mathusalem]

C est surtout une notation abusive que d'écrire

[kazeriahm]

Oui, mais justement, on définit cette somme comme la valeur en -1 du prolongement analytique de zeta, qui vaut -1/12

[nodjim]

Ce Ramanujan, tout de même...

[nodjim]

Et celle ci:
.......999999999999999=-1

[Brasko]

C'est la que l'on voit que l'absurde et la logique sont proches

[Anonyme]

Je dirai même que l'absurde fait partie de la logique

[l1m2ipc]

Je dirai même que l'absurde fait partie de la logique

En parlant d'absurde ma question l'est peut être mais je ne trouve pas de démonstration de cet simple équation:

(-1)*(-1)= 1 ...

La logique étant peut être trop évidente personne ne s'est donner la peine de démontrer ceci, enfin d'après mes recherches.

Est-ce que quelqu'un la connais?

[nodjim]

Et si on rapproche les 2 absurdes on obtient:
12*(......99999999)=1+2+3.....

[Anonyme]

je ne trouve pas de démonstration de cet simple équation: (-1)*(-1)= 1 ...

Salut

As tu trouvé la démo de 1 + 1 = 2 ?

Et ma question n'est pas une "joke"

Pour info :
Ces 2 égalités, la mienne (l'addition) et la tienne (la multiplication) , sont "explicables" et "démontrables"
lorsqu'on étudie la construction des ensembles et

et il n'y a rien d'absurde dans le fait que (-1)*(-1)= 1

ps)
Je ne pense pas que la "définition" du mot "absurde" est synonyme de "je n'arrive pas à comprendre" ou de "je ne trouve pas la démo" ou de "cela contredit ce que je pensais" ...etc....

[Anneauprincipal]

Bonsoir,

pour le fait que (-1)*(-1)=1, cela peut se démontrer dans Z par exemple :

en effet par définition : . Aussi par définition . (1 étant le neutre pour *).

D'où en développant cela d'après la distributivité, on obtient : et par conséquent .