Une solution analytique pour cette série ?

[noucho]

Bonjour tout le monde,

avant tout, ceci est mon premier post sur ce forum ; Je l'ai posté par erreur sur le forum "lycée", je le re-poste donc ici, et vais essayer de supprimer mon premier post... ça commence bien, désolé... :hein3:

Voici donc mon problème. Je suis arrivé dans le cadre de mon travail à l'expression de série suivante :

,
où K est un réel positif.

Savez-vous si cette somme admet une solution analytique ? Ou, au contraire, est-elle connue pour ne pas admettre de solution analytique ?

Quoi qu'il en soit, merci d'avance pour vos réponses,

Cordialement,
Noucho.

PS: je n'ai pas trouvé la solution dans Gradshteyn et Ryzhik, mais j'avoue avoir avoir cherché assez superficiellement seulement.

[Timothé Lefebvre]

Bonjour noucho et bienvenue :)

Non, tu n'avais pas fait d'erreur, c'est moi qui ai placé ton post là-bas par défaut.
Tu ne peux pas le supprimer toi-même, je vais le faire pour toi, on gardera donc ce post-ci comme base d'accord ?

Bonne fin de journée.

[noucho]

Ah OK...
effectivement, j'aime autant laisser la discussion ici, car sauf gros gros black out de ma part, on ne voit pas cette série au lycée ^^

Merci et à+,
Noucho.

[noucho]

Bon, je réponds moi-même, après réflexion. Déjà, ma somme est une sorte d'intégration discrète d'une fonction Gaussienne, dont l'intégrale n'admet pas de forme analytique... Donc j'ai peu d'espoir d'une solution analytique.

Par contre, on peut dire des choses sur le comportement asymptotique de la somme. Posons donc
.

(1) Concernant le comportement lorsque K est grand, on peut majorer D(K) par la série géometrique de raison exp(-K), pour écrire
. (eq. 1)
On en déduit, entre autres, que
lorsque K tend vers l'infini.

(2) Concernant le comportement lorsque K est petit, on peut considérer comme une approximation discrète de , laquelle vaut . Plus précisément, on peut écrire
(eq. 2),
où est la fonction d'erreur de Gauss.
On en déduit, entre autres, que
lorsque K tend 0.

Voilà qui caractérise déjà pas mal le comportement de D(K). Une dernière étape peut consister à calculer numériquement puis repésenter graphiquement D(K), pour voir à quel point les encadrements (eq. 1) et (eq. 2) offrent une bonne caractérisation pour les valeurs intermédiaires de K. Je fais ça de ce pas sous Matlab

A+, merci aux éventuelles personnes qui se sont intéressées à ce message.

Noucho.

[Nightmare]

Salut :happy3:

Ton point (2) est en fait une simple comparaison série-intégrale !

Ce n'est pas seulement vrai quand K est petit mais vrai dès qu'il est positif. Le terme général est alors une fonction décroissante de n.

On a par conséquent la comparaison série-intégrale :


et pour K négatif, dans l'autre sens !

Pour la question initiale, je ne crois pas non plus qu'on ait d'expression simple (=sous forme de somme finie de fonctions élémentaires) pour le résultat.

Cependant on s'en fiche, on a déjà une bonne approximation. Pour étudier D(K) tu peux aussi voir si on peut dériver sous le signe somme, avoir la dérivée nous permettrait de fournir une bonne étude !

N'hésite pas si tu as d'autres questions.

[noucho]

Hello,

merci de ta réponse. Effectivement, j'obtiens mon point (2) en faisant la comparaison série-intégrale, et effectivement, cet encadrement est vrai pour tout K, mais il n'est efficace que pour K assez petit.

Après avoir un peu joué avec Matlab, il apparaît que les deux fonctions asymptotiques pour D(K) (en K=0 et en K=+infini) décrivent en fait D(K) avec une grande précision sur tout R+*.
Plus précisément, la fonction approchée

si
si

est une très bonne approximation de D(K) sur tout R. K0=1,527... est la valeur numérique du point de jonction, où les deux formules sont égales. Cette approximation de D(K) conduit à une erreur relative maximum d'environ 1% (l'erreur relative maximum étant naturellement atteinte au point de jonction K0).

Pour un physicien, voilà donc un problème résolu :zen:
A plus,

Noucho

PS: Le -1/2 qu'on trouve dans l'approximation pour K petit, apparaît naturellement à chaque fois qu'on approxime une intégrale par une série... avec, cachée derrière, la profonde leçon philosophique que "l'aire d'un triangle rectangle vaut la moitié de l'aire du rectangle correspondant"... fiou.