Une équation simple pour hdci

[grantstewart]

Cher hdci,
je te propose un défi :
résoudre cette simple équation du second degré en effectuant la démonstration la plus longue et rigoureuse possible...



Je te donne la solution à laquelle tu dois arriver :





Bon courage ! N'hésite pas à t'exprimer en détail, à t'étendre sur la démonstration...

[hdci]

Il n'y a pas d'équation à résoudre : il y a l'équation d'une parabole...

Est-ce ? Mais cela ne colle pas avec la solution.

Les solutions de l'équation ci-dessus sont

Les solutions indiquées sont solutions de l'équation


Ou alors il fallait trouver les antécédents de ?

[grantstewart]

Pardon hdci, j'ai fait une erreur...

C'est bel et bien que je voulais te proposer de résoudre...

[hdci]

Pour résoudre une équation ou inéquation, la première étape indispensable est : on compare à 0.

On obtient ici

Avec le discriminant
C'est du second degré de la forme , le discriminant est et s'il est positif, les solutions sont

Comme ici b est pair, on peut passer par le discriminant réduit : en posant, cela fait et les solutions sont

Ici, a=5, b=14 (donc b'=7), c=-91, on a donc

Ce qui donne les deux solutions

Sans utiliser le discriminant :
La seule façon de résoudre est de factoriser, puis d'appliquer la règle "un produit est nul ssi l'un des facteurs est nul".

Commençons par "virer" le mutiplicateur du


Le principe est de faire apparaître des identités remarquables( parce que ça, on sait factoriser).
Remarquons alors que est le début de : on peut toujours écrire =

Ici, et .

On obtient alors
C'est-à-dire


Remarquons que , on peut donc écrire



On reconnaît là l'identité remarquable , ce qui permet de factoriser



Avec un peu d'ajustement



On termine : un produit est nul ssi l'un des facteurs est nul.

[hdci]

Au passage : je ne pense pas que le forum soit le bon endroit pour lancer des défis individuels.

J'ai répondu aux deux derniers, mais je ne souhaite pas continuer. Si vous avez des questions, des interrogations pour comprendre tel ou tel formule, démonstration, raisonnement, la communauté (à laquelle je peux apporter une petite contribution) est à même d'y répondre.

[aviateur]

Cher hdci,
je te propose un défi :
résoudre cette simple équation du second degré en effectuant la démonstration la plus longue et rigoureuse possible...

Bonjour
J'espère que cela va s'arrêter. En effet tu peux très bien poser la question en message privé à @HDCI. Et par ailleurs tes nombreux messages dont les sujets sont assez éloignés de l'esprit du Forum pourraient être posés dans un seul message afin de ne pas polluer la page principale.

[aviateur]

Je n'avais pas vu la réponse de @hdci mais je maintiens ma remarque

[grantstewart]

Bravo encore une fois hdci !!!
J'adore tes démonstrations...