Bonjour à tous
Pour mon premier message, je commence fort. J'espère publier dans la bonne catégorie, car à mon âge, on ne se rappelle plus quand on a vu telle ou telle notion mathématique.
Je cherche à appliquer la méthode des moindres carrés sur une droite dans l'espace (tout du moins, je crois). Plus concrètement, en ayant n points (, sinon ce n'est pas drôle), je souhaite avoir la droite en 3 dimensions qui approxime le mieux mes points.
C'est un débat ouvert, je ne connais pas la solution, n'hésitez pas à le faire avancer avec des nouvelles idées. Partons de 3 points, décrits comme ceci :
, , .
1) Expression d'une droite dans l'espace et nombre de variables
Tout d'abord, il faut se fixer la manière de représenter une droite dans l'espace. Pour l'instant, 2 solutions s'offrent à moi ;
1.a) Avec un vecteur directeur
Cette solution nous donne 3 équations à 7 inconnues :
2.a) Avec l'intersection de 2 plans dans l'espace
D'après ce que j'ai compris, on peut simplifier l'un des plans en admettant qu'il passe par , c'est à dire , c'est à dire
.
Dans les 2 cas précédents, j'ai l'impression qu'il nous faut 7 variables pour définir une droite (et que ce n'est pas négociable si l'on veut avoir l'ensemble des droites en 3 dimensions). Il existe aussi des formules à base de quaternions, mais ça me paraît compliqué pour mon application.
2) Principe des moindres carrés
Le principe des moindres carrés est de partir d'une formule générale, par exemple , et de minimiser la distance entre la courbe approximée et chaque point. Si l'on applique ça dans l'espace, on doit donc minimiser
, sachant que appartiennent à ma droite approximée.
En d'autres termes, il faut trouver des valeurs tels que cette formule soit minimale.
.
On se retrouve ici à minimiser une fonction à 9 inconnues (, , , , , , , , )... Ce qui me rebute un petit peu, je n'ai aucune idée de la méthode.
Je suis bloqué dans mon raisonnement, je ne dois pas avoir la bonne façon de faire, je vous laisse la parole !
Pierre