Trisection de l'angle

[Mathusalem]

Rappel : il est prouvé depuis quelques siècles qu'il n'est pas possible d'avoir une méthode générale pour "trisecter" un angle avec seulement une règle non graduée et un compas.

Est-ce qu'il est possible de degager de la preuve un concept majeur qui rend la construction impossible ?

[Imod]

Je suis le seul à trouver franchement lourdingue les remises en questions perpétuelles des fondements des mathématiques par des troud... qui n'ont jamais fait l'effort de comprendre de quoi il était question .

La trisection de l'angle , la quadrature du cercle , la conjecture de Riemann , ... , pas de problème j'ai la solution sur MSN :zen:

Imod

[leon1789]

Est-ce qu'il est possible de degager de la preuve un concept majeur qui rend la construction impossible ?

Je connais une preuve, mais j'imagine qu'il peut y en avoir d'autres... Je pense quand même qu'elle ressemble à la preuve originale.

C'est une preuve algébrique qui commence par montrer qu'avec un compas et une règle (non graduée), on ne peut construire uniquement des longueurs qui sont les éléments d'une tour d'extensions quadratiques sur :



où . Cela vient tout simplement du fait que les équations de cercles "correspondent" aux équations de degré 2.

Il faut remarquer que, pour tout i, la dimension de sur Q est . (Comme il s'agit de corps, on parle de degré d'extension, et non dimension, mais c'est pareil...)

Un corollaire est que, si un nombre est constructible à la règle et au compas, alors il est algébrique sur et le degré de son polynôme minimal est une puissance de 2.

Par exemple, le nombre a pour polynôme minimal . Or 3 n'est pas une puissance de 2, donc n'est pas constructible à la règle et au compas. Idem pour , qui n'est même pas algébrique...

Passons maintenant au problème de trisection d'un angle.
En fait, construire un angle est équivalent à construire ses sinus et cosinus. La question revient à se demander si et appartiennent à une tour d'extensions quadratiques sur le corps engendré par et . Et la réponse est non, car est algébrique de degré 3 (comme !) avec pour polynôme "minimal générique" (*) .
(vous connaissez la relation ! )

Bref, l'obstruction est que 3 n'est pas une puissance de 2. :zen:



(*) c'est effectivement le polynôme minimal en général, mais sur des cas particuliers, le polynôme minimal peut être de degré inférieur... ce qui signifie qu'en général, on ne pourra pas trisecter un angle, mais que sur des cas très particuliers c'est possible.

[leon1789]

Je suis le seul à trouver franchement lourdingue les remises en questions perpétuelles des fondements des mathématiques par des troud... qui n'ont jamais fait l'effort de comprendre de quoi il était question .

La trisection de l'angle , la quadrature du cercle , la conjecture de Riemann , ... , pas de problème j'ai la solution sur MSN :zen:

Imod

Tout dépend comment les choses se déroulent : parfois c'est bon enfant, parfois (souvent ?) quand la personne s'accroche à des choses fausses à l'évidence, c'est effectivement lourdingue : exemple un forumeur de maths-forum qui pensait démontrer le grand théorème de Fermat ... et sa preuve n'utilisait pas une seule fois que x,y,z sont des entiers ! :ptdr:

Mais fondamentalement, le fait que certains essaient de prouver ce genre de truc, montre à quel point les maths sont perçues par la population de manière approximatives, erronées, archaïques, ...

[Dlzlogic]

Bonjour Léon,
Je crois que tu t'est trompé en utilisant le terme "archaïque". Autrefois, c'est à dire avant que toutes les informations sur tout, soient mises à disposition de tout le monde, il ne serait venu à personne l'idée de chercher la trisection d'un angle.
On s'amusait à des problèmes simple comme calculer la longueur de la corde attachée à un piquet de clôture de son enclos circulaire, pour que la chèvre mange la moitié.

Il y a aussi l'excès inverse, certains sujets peu connus et qui n'ont pas quitté l'univers de ceux qui les utilisent, ne sont donc pas traités par les diffuseurs d'information (sauf quelques attrape-nigauds amusants) donc ils n'existent pas. Par contre là où ça peut devenir gênant, c'est quand ces attrape- nigauds servent justement comme introduction à certains cours. Donc, à mon avis, les diffuseurs d'information ne sont à mon avis pas les seuls responsables.

[leon1789]

Bonjour Léon,
Je crois que tu t'est trompé en utilisant le terme "archaïque". Autrefois, c'est à dire avant que toutes les informations sur tout, soient mises à disposition de tout le monde, il ne serait venu à personne l'idée de chercher la trisection d'un angle.
On s'amusait à des problèmes simple comme calculer la longueur de la corde attachée à un piquet de clôture de son enclos circulaire, pour que la chèvre mange la moitié.

Le mot "archaïque" ne qualifiait pas le thème de réflexion (trisection d'un angle ou calcul d'une longueur de corde), mais de la manière dont sont perçues les maths.

J'ai utilisé le mot "archaïque" dans le sens où la plupart des gens d'aujourd'hui, malgré l'efficacité des moyens de communication actuels, connaissent et perçoivent les maths comme des érudits... ayant vécus il y a des centaines et des centaines d'années. Par érudits, j'entends des "simples matheux amateurs", et non des mathématiciens de génie qui avaient des connaissances et un niveau de compréhension très avancés.

C'est exactement comme si de nos jours, un "médecin amateur" proposait à un chirurgien une toute nouvelle technique pour opérer les blessés de la route : >. On lui répondrait que son approche est approximative, erronée, archaïque (bien que le problème des blessés de la route soit un problème actuel).

[Mathusalem]

Je connais une preuve, mais j'imagine qu'il peut y en avoir d'autres... Je pense quand même qu'elle ressemble à la preuve originale.

C'est une preuve algébrique qui commence par montrer qu'avec un compas et une règle (non graduée), on ne peut construire uniquement des longueurs qui sont les éléments d'une tour d'extensions quadratiques sur :



où . Cela vient tout simplement du fait que les équations de cercles "correspondent" aux équations de degré 2.

Il faut remarquer que, pour tout i, la dimension de sur Q est . (Comme il s'agit de corps, on parle de degré d'extension, et non dimension, mais c'est pareil...)

Un corollaire est que, si un nombre est constructible à la règle et au compas, alors il est algébrique sur et le degré de son polynôme minimal est une puissance de 2.

Par exemple, le nombre a pour polynôme minimal . Or 3 n'est pas une puissance de 2, donc n'est pas constructible à la règle et au compas. Idem pour , qui n'est même pas algébrique...

Passons maintenant au problème de trisection d'un angle.
En fait, construire un angle est équivalent à construire ses sinus et cosinus. La question revient à se demander si et appartiennent à une tour d'extensions quadratiques sur le corps engendré par et . Et la réponse est non, car est algébrique de degré 3 (comme !) avec pour polynôme "minimal générique" (*) .
(vous connaissez la relation ! )

Bref, l'obstruction est que 3 n'est pas une puissance de 2. :zen:



(*) c'est effectivement le polynôme minimal en général, mais sur des cas particuliers, le polynôme minimal peut être de degré inférieur... ce qui signifie qu'en général, on ne pourra pas trisecter un angle, mais que sur des cas très particuliers c'est possible.

Merci pour la demo, c'est tres interessant !