Trigonometrie sphérique

[Anonyme]

Bonjour,
mon problème est le suivant.
Le domaine d'applicaion est une sphère.
Je dispose des informations suivant :
A(X,Y): point de départ
B(X',Y'):point d'arrivé
AZ: distance entre A et Z. Z étant un point sur le ligne AB

Je cherche à connaitre les coordonnées du point Z(I,J).

Pourriez-vous me fournir les formules qui permette de calculer I et J.

Merci
Guillaume

[cesar]

bonjour,
il y a une multitudes de chemins qui vont d'un point A à un point B...
de plus, si on se place dans l'espace, les points ont 3 coordonnées et non pas deux...mais on peut supposer que la troisieme coordonnée se déduit des deux premieres par l'équation de la sphere.

Si l'on suppose qu'il s'agit du plus court chemin, alors, ce chemin est un arc de cercle, de rayon le rayon de la sphere et de centre le centre de la sphere.

si M est le centre de la sphere et R son rayon.

on peut donc trouver les coordonnées de Z à partir des vecteurs MA et MB
on sait que MZ se trouve dans le plan du cercle trajectoire, donc dans le plan (MA, MB) on peut donc ecrire MZ = a*MA + b*MB
on connait l(AZ) (la longueur de l'arc AZ...), donc on connait l'angle MA-MZ, qui est en radian AZ/R
donc MZ*MA = R^2*cos(l(AZ)/R)=a*r^2 + b*MA*MB
R^2*cos(l(AZ)/R)=a*R^2 + b*R^2*cos(MA, MB)
soit :
cos(AZ/R)=a + b*cos(MA, MB)


et si l(AB) est la longueur de l'arc AB
MZ*MB = R^2*cos([l(AB)-l(AZ)]/R) = a*MB*MA + b*R^2

soit :

cos([l(AB)-l(AZ)]/R) = a*cos(MB,MA) + b

reste à resoudre en a et b, ce qui a priori est sans difficulté.